維數正規化

P—V正規化方法在QED里獲得了成功的套用，但在非Abel規範理論里包含著無質量Fermi場，P—V正規化便不再適用。在非Abel規範理論里使用的正規化方法之一是維數正規化。這種方法便於處理具體的放散積分，並且不破壞理論的規範對稱性。維數正規化方法對QED也同樣適用。

基本介紹

• 中文名：維數正規化
• 外文名：dimensional regularization
• 定義：正規化方法之一
• 套用學科：量子力學術語
• 範疇：數理科學
• 涉及：QED

概念

發散指數 在很大程度上依賴於時空維數。對於維數為 的空間，獨立微分對於圖形指數的貢獻等於：

其中， 是內線數，而 是頂角數。因此，在4維空間中對應於發散積分的圖形，在一個維數小些的空間中可以變成收斂的。另一方面，由4維空間過渡到n維空間不影響對稱性質。規範變換能夠自然地推廣到任何有正維數的空間中。我們還可以更進一步，對於維數為非整數，甚至為複數的空間中定義費曼圖。在此情況下，自然不能談到拉氏量的任何對稱性，因為這一概念本身在非整數 的情況下失去了意義。然而，我們能夠在任意維數的空間中研究格林函式。正像我們在下面將要看到的，用格林函式表出的規範不變性，等效於在這些函式之間存在一種被稱為廣義瓦德恆等式的關係。

基本原理

P—V正規化方法在QED里獲得了成功的套用，但在非Abel規範理論里包含著無質量Fermi場，P—V正規化便不再適用。在非Abel規範理論里使用的正規化方法之一是維數正規化。這種方法便於處理具體的放散積分，並且不破壞理論的規範對稱性。維數正規化方法對QED也同樣適用。

維數正規化的基本思想是：

（1）為了處理4維閔氏空間 的發散積分 ，首先考慮一個在較小維數的 維空間 的積分。這裡 ， 是一個小正數，不一定是整數，因而 是一個小於4的正數（不一定是整數）。 空間的前 維是空間，第 維是時間，因而為了保證空間具有正數維，就要求 ；

（2）把在較小維數的空間 定義的 積分記為 ，它是維數 的函式。而且總可以找到一個足夠小的維數值 ，使得在 的區域（維數空間的一個區域）里，所論小 區域的 積分 收斂；

（3）這個在 區域的收斂積分 可以解析延拓到n為任意正敬值的區域（包括的區域）里去。因而我們就具有一個在維數空間任意大區域裡收斂的維 積分；

（4）這個在維數空間任意大區域裡收斂的維積分是維數的亞純函式，在取某些正整數值（包括）處是這個積分的極點。當時，這個維積分就回到原來4.維空間的發散積分，而這時，原來積分的紫外發散性就表現為維收斂積分在處的極點型奇異性。我們把這個在任意值下收斂的積分記為，它就是原來發散積分的正規化積分。