結構常數

結構常數是定義在李群上的一組常數。它們決定了該李群的李代數的元素之間的李括弧。反過來，給定一組滿足某些性質的常數，就一定存在以它們為結構常數的局部李群。

基本介紹

• 中文名：結構常數
• 外文名：structural constant
• 所屬學科：數學
• 相關概念：李代數、李群、同構等

基本介紹

定理1 設g是有限維李代數，則存在惟一一個單連通李群G*，以g為其李代數。此外，如果G是另一個以g為其李代數的連通李群，則 是G的單連通李覆蓋群(即 是群同態，而G*和G是局部同構李群)。

若g是一個有限維李代數，則根據定理1，g是某個李群G的李代數。如果構想 是g的一組基，那么就存在一組常數 使得

由於李括弧還滿足反對稱性和Jacobi恆等式，因此不難驗證 還必須滿足下面的限制條件：

(1)反對稱性：

(2)Jacobi恆等式：

由於 構成一組基，如果我們知道 ，利用式(1)和李括弧的雙線性即可重新構造出李代數g來。因此稱滿足條件即式(2)和式(3)的常數組 為李代數g的結構常數。反之，不難證明，任意一組滿足式(2)和式(3)的常數 都是某個李代數的結構常數。

如果選取g的另一組基 為

式中，矩陣 可逆，則相對於 的結構常數為

式中， 是 的逆矩陣。

因此，兩組結構常數確定同一個李代數的充分必要條件是：存在矩陣 ，使它們滿足式(5)。於是由定理1可見，在連通李群的李代數和滿足式(2)和式(3)的結構常數的等價類之間存在一一對應。所以，可以通過研究代數方程式(2)和式(3)來研究有限維李代數的性質，當然這並不能代替整個李群理論。

交換子表

展示一個李代數的結構，最方便的方法是用交換子表。如果g是一個r 維李代數， 是它們的一組基，那么g的交換子表就是一個 表格，第(i，j)個元素就表示李括弧 。由於李括弧是反對稱的，交換子表也是反對稱的，特別是對角線上的元素為0。有了交換子表，結構常數就可以很方便地從交換子表中讀出，即 就是交換子表中第(i，j)個元素里 的係數。

以特殊線性群 的李代數 為例說明交換子表的表示法。此時g由跡為零的2×2矩陣全體組成，取一組基為

那么相應的交換子表見表1。

表 1 交換子

	A1	A2	A3
A1	0	A1	-A2
A2	-A1	0	A3
A3	2A2	-A3	0

例如，從表中可知 等。結構常數是 ，其他 全為零。

無窮小群作用

下面簡要地介紹無窮小群作用。

設G是作用在流形M上的局部變換群，即

那么相應地，存在G的李代數g在M上的無窮小作用。換言之，如果V∈g，則定義 是M上的這樣一個向量場，其確定的流與G的單參數子群exp(tV)在M上的作用重合，即對x∈M， 滿足關係：

式中， 。進一步注意到，由於在有定義的地方，有如下等式成立：

從而對任意g∈G，有

由李括弧的性質可知，是g到M上的向量場的李代數的一個李代數同態，即

所以，一切與V∈g對應的向量場組成的集合形成M上的向量場的一個李代數，它與g同構；特別是具有與g相同的結構常數。

反之給定M上一個有限維向量場李代數，總存在一個局部變換群，其無窮小作用由已知李代數生成。因此有下面的定理。

定理2 設是流形M上的滿足如下關係的向量場：

式中，是常數。那么存在一個李群G，其李代數以為相對於某組基的結構常數，並且G在M上的局部群作用使得曲由式(6)定義。

通常，忽略對映射的明顯依賴，而把李代數g和它的像視為等同。這樣，通過下面的公式從群變換可以重新得到g，即

g中的向量場V叫做G的群作用的一個無窮小生成元。定理2表明，只要已知形成一個李代數的基的無窮小生成元，那么總能通過取指數求得一個局部變換群，其李代數與已知李代數相同。