約翰生結合方案(Johnson association scheme)亦稱三角形結合方案，是一類度量方案，約翰生結合方案在編碼理論中也有重要套用，例如，每一個等重量碼都可看做某個約翰生結合方案中的子集。
基本介紹
- 中文名：約翰生結合方案
- 外文名：Johnson association scheme
- 所屬學科：數學（組合設計）
- 別名：三角形結合方案
- 簡介：一類度量方案
基本介紹,對三角結合方案的研究,相關介紹,
基本介紹
設
，以
記某個v元集的k元子集的全體，若當兩個k元子集的交為k-i元子集時，規定它們有第i種結合關係，則J(v，k)是有
個處理及k個結合類的結合方案，稱為約翰生結合方案。當k=2時，約翰生結合方案即為三角形設計中的結合方案，約翰生結合方案在編碼理論中也有重要套用，例如，每一個等重量碼都可看做某個約翰生結合方案中的子集。
度量方案是一類結合方案，它由距離正則圖定義，若Γ為直徑d的距離正則圖，規定兩個頂點的距離為i時它們有第i種結合關係，則在Γ的頂點集合上有一個d個結合類的結合方案，稱為度量方案。許多最重要的結合方案都是度量方案。例如，具兩個結合類的結合方案一定是度量方案，漢明結合方案與約翰生結合方案也都是度量方案。但是，並非所有的結合方案都是度量方案。
對三角結合方案的研究
1957年起，張里千開始研究試驗設計。1959年，張里千對三角結合方案進行了研究，並在較短的時間內解決了這一問題。結合方案是試驗設計中部分平衡不完全區組設計(PBIBD)的一種內在數學結構。在三角形結合方案的研究中，張里千用組合數學的方法推導出具有三角參數
，
和
的結合方案唯一地成為三角形方案的一個比較深刻的充要條件，並運用它證明了具有三角參數的結合方案當n≠8時必定是唯一的三角形方案；而當n=8時，除三角形方案外，還構造出全部其他3個方案；從而徹底解決了三角形方案的唯一性問題。在張里千的工作之前，對於n≥9和n=5，6情形已分別被W.S.康納(Connor，1958年)和S.S.施里克漢德(Shrikhande，1959年)所解決。n=8的情形後來被國外一些圖論著作稱之為“著名的張圖”(well-known Chang graphs)。
相關介紹
三角形設計是一類PBIBD設計，它有兩個結合類，設
，
，將S中的v個元以某種次序放在一個n階方陣的右上角，左下角則放相應元素使該方陣為對稱方陣，對角線位置則空著，當S中的兩個元xi與xj出現在方陣中的同一行或同一列時，稱它們有第一種結合關係；否則，稱它們有第二種結合關係。這樣便得到S上有兩個結合類的結合方案，稱為三角形結合方案。集S中相應的PBIBD設計稱為三角形設計。三角形結合方案的參數由n確定：當n≠8時，三角形結合方案是在同構意義下由參數惟一確定的；當n=8時，則不惟一。
