約和運算，對一個不小於2的整數而言，求它的所有不等於它本身的約數之和進行的運算。記一個整數n的“約和”為S(n)。
基本介紹
- 中文名：約和運算
- 對於：一個不小於2的整數而言
- 性質：S(n)=1的充要條件是n為素數
- 屬於：數學
定義,性質,約和運算的疊代,
定義
對一個不小於2的整數而言，求它的所有不等於它本身的約數之和進行的運算。記一個整數n的“約和”為S(n)
性質
1、 S(n)=1的充要條件是n為素數；
2、 若n為偶數，則S(n)為奇數的充要條件是n為完全平方數；若n為奇數，則S(n)為偶數的充要條件是n為完全平方數；
3、 若n為大於3的奇素數，則S(2n)=(n+6)/2 S(6n)=6n+12；
4、S(n)不等於2.
約和運算的疊代
設S(n,m)=S(S(S(……S(n))))，其中有m次“約和”的計算。若存在m使S(n,m)=1，則稱n為“迭約數”。
對於迭約數n，定義d(n)為使S(n,m)=1的m的最小值。
顯然，完全數都不是迭約數（完全數指使S(n)=n的數n，如6、28、496……都是完全數）；
另外，若兩個數互為相親數（若m,n滿足S(m)=n且S(n)=m，則m,n互為相親數，如220和284），則這兩個數都不是迭約數。
除此以外，對於n而言，若存在m使得S(n,m)不是迭約數，則n不是迭約數。
那么，是否除了以上三種情況，對於所有大於2的正整數n，都是迭約數，即有p(n)存在呢？有些數並不知道是存在p(n),如150，222等
顯然，對於所有素數p，都有d(p)=1。
由約和運算性質4知：若且唯若S(n)為奇素數時，d(n)=2
對於d(n)>2,太過複雜。但是，可以由約和運算性質3得知，當6|n時，有S(n)>n,且S(n)仍可能是6的倍數，則當n=6k且k較大時，n很可能是非迭約數
小於100的非迭約數：6（完全數）、25（因為S(25)=6）、28（完全數）、95（因為S（95）=25）
