糖水不等式

a克糖水中有b克糖（a>b>0），則糖的質量和糖水的質量比為：b/a，若再添加c克糖（c>0），則糖的質量和糖水的質量比為：(b+c)/(a+c)。生活經驗告訴我們：添加糖後，糖水會更甜，即可得到不等式：(b+c)/(a+c)>b/a(a>b>0,c>0)，如圖。趣稱之為“糖水不等式”。

基本介紹

• 中文名：糖水不等式
• 外文名：Sugar water inequality
• 生活實例：糖的多少決定甜度
• 證明方法：作差法、作商法、分析法等
• 套用：溶液中溶質質量分數的判斷
• 領域：數學

證明方法

作差法

真分數 ，在分子分母同時加上一個 ，即：

則用作差法表示為：

∵a>b>0,c>0

∴

∴一個真分數在分母分子同時加上一個正數時，分數將變大。

糖水不等式：

成立。

作商法

根據作商法可知：

若糖水不等式成立，則不等式：

也成立。

由不等式左邊得：

即：

∵a>b>0且c>0

∴ab>0,ac>bc>0

即：

∴不等式：

成立，糖水不等式：

也成立。

分析法

欲使糖水不等式成立，即：

只需：

只需：

只需：

只需：

只需：

只需：

又∵c>0

∴此不等式顯然成立，糖水不等式：

也成立。

其他方法

1.綜合法

2.構造函式法

3.定比分點公式法

生活啟示

在以後學習中，不僅掌握知識本身，還要多體會知識產生、發展背景、及其套用，以達到舉一反三、融會貫通的目的；從而得出思考與反思的必要環節。

實際套用

在溶液中，判斷溶質的質量分數的大小時，經常用到該不等式。

現有質量為b的物質A的水溶液，其中含有質量為a的物質A，則此時該溶液的溶質的質量分數。向該溶液中再加入質量為c的物質A，並充分攪拌，物質A全部溶解，則此時溶液的溶質的質量分數。根據“糖水不等式”，有
，

即可得到

則加入物質A後的溶液中，溶質的質量分數大於加入物質A之前的溶液中溶質的質量分數，即加入物質A前濃度小於加入物質A後的濃度。