算術運算

算術運算

算術運算即“四則運算”,是加法、減法、乘法和除法四種運算的統稱。它通常是對實數或複數進行的。屬於某個數集的兩個數,經過算術運算,可以確定出這個數集的第三個數。在計算機中,算術運算還包括求絕對值、“求反”以及邏輯運算“比較”等運算。(少部分的書籍稱乘方、開方也屬於算術運算)。

基本介紹

  • 中文名:算術運算
  • 外文名:arithmetical operation
  • 所屬學科:數學
  • 別稱:四則運算
定義,各個運算定義,各部分的關係,算數運算法則,加減法的法則,乘法的法則,除法的法則,運算性質,加法運算性質,減法運算性質,乘法運算性質,除法運算性質,冪的性質,

定義

算術運算簡稱運算。指按照規定的法則和順序對式題或算式進行運算,並求出結果的過程。包括:加法、減法、乘法、除法、乘方、開方等幾種運算形式。其中加減為一級運算,乘除為二級運算,乘方、開方為三級運算。在一道算式中,如果有幾級運算存在,則應先進行高級運算,再進行低一級的運算。如:3+22×4=3+4×4=3+16=19;如果只存在同級運算;則按從左至右的順序進行;如果算式中有括弧,則應先算括弧裡邊,再按上述規則進行計算。如:(3+2)2×4=52×4=100。運算和計算略有區別,計算是指把橫式中的數按運算符號和規定的順序求得結果,可以按運算法則,也可以按口算或其他簡便的方式直接求得結果。而運算則是指求得結果的過程。

各個運算定義

加法:把兩個數合併成一個數的運算。
減法:在已知兩個加數的和與其中的一個加數,求另--個加數的運算。
乘法:求兩個數乘積的運算。其中:
(1)一個數乘整數,是求幾個相同加數和的簡便運算;
(2)一個數乘小數,是求這個數的十分之幾、百分之幾、千分之幾……是多少;
(3)一個數乘分數,是求這個數的幾分之幾是多少。
除法:已知兩個因數的積與其中的一個因數,求另一個因數的運算。
乘方(Powers of Numbers):求n個相同因數的的運算,叫做乘方,乘方的結果叫做。在
中,
叫做底數,n叫做指數
讀作
的n次方。
看作
的n次方的結果時,也可讀作
的n次冪。二次方也叫平方,三次方也叫立方。正數的任何次冪都是正數;負數的奇次冪是負數,負數的偶次冪是正數。
開方(Roots of Numbers):一般地,如果一個數的平方等於
,這個數就叫做
的平方根(也叫做二次方根),換句話說,如果
,則x就叫做
的平方根。
一般來說,一個正數有兩個平方根,這兩個平方根互為相反數,零的平方根為零。在式子
中,
叫做被開方數,2叫做根指數
正數
的正的平方根,也叫做
的算術平方根;零的平方根也叫做零的算術平方根,因此零的算術平方根仍舊為零。

各部分的關係

乘法是加法的簡便運算,除法是減法的簡便運算。
減法與加法互為逆運算,除法與乘法互為逆運算。
加數+加數=和;
被減數-減數=差;
一個加數=和-另一個加數;
減數=被減數-差;
被減數=差+減數;
因數×因數=積;
一個因數=積÷另一個因數;
被除數÷除數=商;
除數=被除數÷商;
被除數=商×除數.

算數運算法則

加減法的法則

整數
(1)相同數位對齊;
(2)從個位算起;
(3)加法中滿幾十就向高一位進幾;減法中不夠減時,就從高一位退1當10和本數位相加後再減。
小數
(1)小數點對齊(即相同數位對齊);
(2)按整數加、減法的法則進行計算;
(3)在得數里對齊橫線上的小數點,點上小數點。
分數
(1)同分母分數相加、減,分母不變,只把分子相加、減;
(2)異分母分數相加、減,先通分,再按同分母分數加、減法的法則進行計算;
(3)結果不是最簡分數的要約分最簡分數

乘法的法則

整數
(1)從個位乘起,依次用第二個因數每位上的數去乘第一個因數;
(2)用第二個因數那一位上的數去乘,得數的末位就和第二個因數的那一位對齊;
(3)再把幾次乘得的數加起來。
小數
(1)按整數乘法的法則先求出積;
(2)看因數中一共有幾位小數,就從積的右邊起數出幾位點上小數點。
分數
(1)分數乘分數,用分子相乘的積作分子,分母相乘的積作分母;
(2)有整數的把整數看作分母是1的假分數;
(3)能約分的要先約分。

除法的法則

整數
(1)從被除數的高位除起;
(2)除數是幾位數,就先看被除數的前幾位,如果不夠除,就要多看一位;
(3)除到哪一位就要把商寫在哪一位上面;
(4)每次除得的餘數必須比除數小;
(5)求出商的最高位後如果被除數的哪一位上不夠商1就在哪一位上寫0。
小數
(1)除數是整數時,按整數除法進行計算,商的小數點要與被除數的小數點對齊;
(2)除數是小數時,先轉化成除數是整數的小數除法,再按照除數是整數的小數除法進行計算。
分數
甲數除以乙數(0除外),等於甲數乘乙數的倒數。

運算性質

加法運算性質

從加法交換律和結合律可以得到:幾個加數相加,可以任意交換加數的位置;或者先把幾個加數相加再和其他的加數相加,它們的和不變。例如 : 34+72+66+28 =(34+66)+(72+28)= 200。

減法運算性質

①一個數減去兩個數的和,等於從這個數中依次減去和里的每一個加數。例如:134-(34+63)=134-34-63=37;
②一個數減去兩個數的差,等於這個數先減去差里的被減數,再加上減數。例如:100- (32-15) =100 -32 +15=68+15=83;
③幾個數的和減去一個數,可以選其中任一個加數減去這個數,再同其餘的加數相加。例如:(35 +17 +29)-25=35-25+17+29=56;
④一個數連續減去幾個數,可以先把所有的減數相加,再從被減數里減去減數相加的和。例如:276-115-85 =276-(115 +85) =76。

乘法運算性質

①幾個數的積乘一個數,可以讓積里的任意一個因數乘這個數,再和其他數相乘。例如:(25×3×9)×4 =25 ×4×3×9 =2700;
②兩個數的差與一個數相乘,可以讓被減數和減數分別與這個數相乘,再把所得的積相減。例如: (137 -125)×8=137×8-125×8= 96。

除法運算性質

①若某數除以(或乘)一個數,又乘(或除以)同一個數,則這個數不變。例如:68÷17×17=68(或68×17÷17=68);
②一個數除以幾個數的積,可以用這個數依次除以積里的各個因數。例如:320÷(2×5×8) =320÷2÷5÷8 =4;
③一個數除以兩個數的商,等於這個數先除以商中的被除數,再乘商中的除數。例如:56÷(8÷4)=56÷8×4=28;
④幾個數的積除以一個數,可以讓積里的任何一個因數除以這個數,再與其他的因數相乘。例如:8 ×72×4÷9=72÷9×8×4=256;
⑤幾個數的和除以一個數,可以先讓各個加數分別除以這個數,然後再把各個商相加。例如:(24+32+16)÷4=24÷4+32÷4+16÷4=18;
⑥兩個數的差除以一個數,可以從被減數除以這個數所得的商里,減去減數除以這個數所得的商。例如:(65-39)÷13=65÷13-39÷13=2。

冪的性質

1.
    2.
    3.
    4.
    5.
    (
    為最簡分數,當n為正偶數時,
    必為非負數);
    6.
    7.
    8.

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