基本介紹
- 中文名：等距曲面
- 外文名：equidistant surface
- 領域：數學
- 簡稱：等距面
- 性質：羅氏空間的三種基本曲面之一
- 提出者：羅巴切夫斯基
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概念
等距曲面(equidistant surface)簡稱等距面。羅氏空間的三種基本曲面之一。指在羅氏空間中，在給定平面α的同一側，到α的距離相等的點的軌跡。平面α稱為等距曲面的底，從曲面上的任一點所引的到底上的垂線稱為高。等距面是雙曲線把的直交曲面。它也可以看成等距線繞雙曲線束中的任一條直線旋轉而生成的曲面。
羅氏幾何
羅巴切夫斯基幾何的簡稱。非歐幾何的一種，亦稱“雙曲幾何學”。是俄國數學家羅巴切夫斯基創立的。羅氏幾何的創立是從研究“歐氏幾何”第5公設即著名的平行公理(見“歐幾里德幾何”)是否能用其他公理證明開始的。平行公理不僅在形式上比其他公設複雜，而且在《幾何原本》中，從第29個命題開始才用到這個公理，於是人們產生了能否把它作為定理而從其他公設和基本概念導出來的願望。從古代開始，很多數學家企圖證明第5公設，但經歷了兩千多年的時間都未成功。直到1826年，喀山大學的數學教授羅巴切夫斯基才徹底解決了這一問題，他於同年2月23日，在物理數學系的會議上宣讀了 《關於幾何原理的議論》，這篇報告在1829年刊登在喀山大學學報上。
羅巴切夫斯基早在1815年就開始研究第五公設，最初他企圖用反證法證明第5公設，但是，從與歐氏平行公理相矛盾的命題出發，展開推論，雖然得出一些在當時看來是不可思議的結果，卻始終沒有發現邏輯上的矛盾，羅巴切夫斯基由此得出兩個結論：①平行公理不能被證明;②新的與歐氏幾何對立的幾何學本身無矛盾，在邏輯上是可能成立的。並於1835年出版專著《新幾何原本》，後人稱之為羅巴切夫斯基幾何學，簡稱“羅氏幾何”。
羅氏幾何引用了與平行公理相反的公理：“過直線外一點至少可以作兩條直線和已知直線不相交。”同時證明三角形三內角之和小於180°，並提出了自己的公理系統，建立了一種全新的幾何學，它與歐氏幾何一樣是一種嚴密的數學理論。羅氏幾何的創立是運用演繹推理建立的幾何體系，有著方法論的意義，而且，也為人們深入認識空間的性質，從數學上開闢了一條道路。
羅氏空間的基本曲面
羅氏空間的基本曲面是羅氏幾何的主要研究對象。指羅氏空間中球面、等距曲面和極限球面三種曲面，這三種曲面分別是羅氏空間中三種線把——橢圓線把、雙曲線把和拋物線把的直交曲面。如果以橢圓、雙曲、拋物三種線束中的任一條直線為旋轉軸，把圓、等距線、極限圓旋轉，就分別得到羅氏空間中的三種迴轉曲面：球面、等距曲面，及極限球面。
羅氏空間的球面
羅氏空間的球面是羅氏空間的三種基本曲面之一。在羅氏空間中，設a是以O為中心的直線把中的一條直線，在a上取定一點A，作線把中任一直線與a的等傾割線，其端點的軌跡稱為羅氏球面，O稱為該球面的球心或中心。羅氏球面可以看成羅氏圓繞著橢圓線束(中心線束)中任一條直線旋轉所產生的曲面。
羅氏空間中的直線把
羅氏空間中的直線把是羅氏幾何研究的對象。指羅氏空間中的直線集合，其中每對直線在一平面上。羅氏空間中的直線把只存在如下三種類型：
1.橢圓線把。通過某點S的所有直線的集合。這種直線把亦稱為中心線把(如圖1)。
橢圓線把
橢圓線把2.雙曲線把。垂直於某平面ω的所有直線的集合(如圖2)。
3.拋物線把。在一方向相互平行的所有直線的集合(如圖3)。
羅氏空間的極限球面
羅氏空間的極限球面是羅氏空間的三種基本曲面之一。指在羅氏空間中，從直線a的一個點A，到在確定方向上與a平行的任意直線引等傾割線，其端點的幾何軌跡。點A也是極限球面上的點。直線a及與a在同方向平行的直線稱為極限球面的軸線。極限球面是拋物線把的直交曲面，也是極限圓繞其任一軸線旋轉一周所產生的曲面。
人物簡介——羅巴切夫斯基
俄國數學家。生於下諾夫哥羅德(今高爾基城)，卒於喀山。1807年入喀山大學學習，1811年獲碩士學位並留校工作。1816年任副教授，1822年任教授。還曾任物理數學系主任、圖書館館長和喀山大學校長等職。羅巴切夫斯基是非歐幾里得幾何學的創始人之一。他從1816年開始試作平行公設(歐幾里得《幾何原本》中的第五公設)的證明。他把全部幾何命題按是否依賴於平行公設而分為兩部分，不靠平行公設的那部分現通稱為“絕對幾何學”。他從絕對幾何中的命題“在一個平面上，過直線AB外一點至少可作一條直線與AB不相交”出發，在嚴密的推導下得到一系列前後一貫的命題，由此構成了邏輯上無矛盾且與絕對幾何不相衝突，但又與歐幾里得幾何不同的新幾何體系。羅巴切夫斯基稱之為“虛幾何學”，後人則稱之為“羅巴切夫斯基幾何學”。1826年，他在喀山大學公開發表自己的新學說，但沒有得到承認。以後他陸續用俄文、法文、德文發表自己的工作。他去世後，高斯對他的學說予以肯定，他的工作逐漸引起人們重視。直到1868年，義大利數學家貝爾特拉米發表著名的論文，給出羅巴切夫斯基幾何學的直觀解釋，他的發現才最終得到確認。除此之外，羅巴切夫斯基在無窮級數論、積分學和機率論等方面，也有出色的工作。他還是一位傑出的教育家和管理者，創立了喀山數學學派和喀山數學教育學派。其代表作有《具有完善的平行線理論的新幾何學原理》、《論幾何學基礎》(1829—1830)、《平行線理論的幾何研究》(1840，德文)等。
