等距映射(isometry)是黎曼流形間保持弧長的映射。設(M，g)和(N，h)是兩個黎曼流形，φ：M→N是光滑映射，若φ*h=g，即對任意的p∈M及X，Y∈TpM，都有g(X，Y)=h(φ*X，φ*Y)，則稱φ是局部等距映射。對於局部等距映射φ：M→N，必定有dim M≤dim N。當dim M<dim N時，則稱(φ，M)是N的等距浸入子流形。若φ：M→N是可微同胚，且φ是局部等距映射，則稱φ是從(M，g)到(N，h)的等距或等距映射。黎曼流形之間的等距是一種等價關係。兩個黎曼流形彼此等距的條件見“嘉當-阿姆勃羅斯-希克斯定理”，黎曼流形(M，g)到自身的等距映射又稱為等距變換，黎曼流形(M，g)到自身的等距變換全體構成一個群，稱為等距變換群。
基本介紹
- 中文名：等距映射
- 外文名：isometry
- 所屬學科：數學
- 所屬領域：微分幾何學(微分流形與黎曼幾何)
- 相關概念：等距變換、變換群、等距浸入等
定義,黎曼流形上的變換群,相關概念與性質,
定義
等距映射(isometry)是黎曼流形間保持弧長的映射。設(M，g)和(N，h)是兩個黎曼流形，φ：M→N是光滑映射，若φ
h=g，即對任意的p∈M及X，Y∈TpM，都有g(X，Y)=h(φ X，φ Y)，則稱φ是局部等距映射。對於局部等距映射φ：M→N，必定有dim M≤dim N。當dim M<dim N時，則稱(φ，M)是N的等距浸入子流形。若φ：M→N是可微同胚，且φ是局部等距映射，則稱φ是從(M，g)到(N，h)的等距或等距映射。黎曼流形之間的等距是一種等價關係。兩個黎曼流形彼此等距的條件見“嘉當-阿姆勃羅斯-希克斯定理”，黎曼流形(M，g)到自身的等距映射又稱為等距變換，黎曼流形(M，g)到自身的等距變換全體構成一個群，稱為等距變換群(參見“黎曼流形的變換群”)。
設(A，d)與(B，e)為兩個度量空間。稱從A到B中的映射f是等距映射，如果它保持距離，即是說，如果對A的任一點偶(x，y)，有 e(f(x)，f(y))=d(x，y)。
黎曼流形上的變換群
黎曼流形上的變換群(transformation groups in Riemannian manifolds)是黎曼流形到自身的變換群，主要是指黎曼流形的等距變換群、共形變換群和射影變換群。一個微分流形到它自身的可微同胚的全體構成一個群，稱為該流形的可微變換群。這個群是非常大的，一般說來，它不是李群，若在微分流形上加一定的結構，則該微分流形到自身的、保持該結構不變的可微同胚構成的群往往可能是一個李群。例如，n維連通黎曼流形M到自身的等距變換構成的群稱為M的等距變換群，它是一個李群，其維數至多是n(n+1)/2。若M的等距變換群恰好是n(n+1)/2維李群，則M必是常曲率空間，且它與下列空間之一等距：Rn，球面Sn，實射影空間RPn，n維單連通雙曲空間。n維連通黎曼流形M到自身的共形變換構成的群稱為M的共形變換群，當n≥3時它是維數至多為(n+1)(n+2)/2的李群，n維球面的共形變換群達到了這個最大維數。若黎曼流形M到自身的可微同胚把測地線變為測地線，則稱它為M的一個射影變換，M的所有射影變換構成的群稱為M的射影變換群。
相關概念與性質
以下設M與
是兩個給定的n維Riemann流形，關於M與的同一概念用同一字母以加“一” 與不加“一” 來區別。例如， M與中的度量分別記作g與
；Riemann連絡分別記作
，等等。
定義1設
是一微分同胚，若f滿足
命題2 微分同胚為仿射同胚的充要條件是：在每點
處總可選取f的局部表示，使關於f對應的點有相同的局部坐標且
。
定義3設是一微分同胚，若f滿足
類似於命題2(推導更直接) 是:
命題4微分同胚是等距映射的充要條件是:在每點
處可選取f的局部表示，使關於f對應的點有相同的局部坐標且
可以看出，等距映射一定是仿射同胚。然而，等距的要求要強得多：意味著M與的度量完全相同，因而所有基於度量的性質都是相同的；可以說，M與實質上是同樣的Riemann流形，或者說，它們只是同一個抽象的Riemann流形的不同模型而已。
若M與是R3中的曲面，則從M到的等距映射通常稱為變形，這意味著在不發生伸縮變化的條件下改變曲面形狀，在變形後的曲面上測得的長度、角度、面積、測地曲率及Gauss曲率等都不會改變；簡言之，變形不改變曲面幾何，無論我們怎樣捲曲一個柱面，生活於其上的2維智慧型生物都不會覺察到它的“世界”的幾何學有絲毫變化。
不能互相變形的曲面必定具有不同的度量，度量不同的曲面有著本質的差別，這似乎純粹是一個幾何學命題，實際上也具有非常直觀且非常現實的物理學意義。例如，有經驗的工程人員都知道，用金屬薄板捲成一個圓筒是較為容易的，而要製作一個半球面就不太容易，因為需消耗很大能量來改變板材的局部度量，球面不能變形為平面(即使局部地) 這一事實還導致如下結論：不存在一種地理製圖法，使得地圖上各部分能按同一尺寸比例繪製，因而嚴格說來任何地圖在尺寸比例上都是失真的!
判定兩曲面是否等距有重要的理論與實際意義。一般來說，決定兩曲面不等距要簡單些：指出兩者的內在性質有一項差異就足夠了。例如，Gauss曲率不同的曲面絕不會等距；特別，半徑不同的球面是不能互相變形的。另一方面，要肯定兩曲面等距並不總是容易的，須知，等距的曲面可能在外形上差別甚大，倘無細緻的解析論證，僅憑直觀的考察是難以作出判斷的，為套用方便,給出由4推出的以下判別法。
命題5若曲面M與分別有參數(u，v) 與
使得對應
是一個微分同胚(即雙方為
映射的參數對應)，且在此參數對應下有
分別為M與的第一基本形式，則M與等距同胚。
等距概念有一個十分自然而又意義重大的套用.設是一個微分同胚，
是一個Riemann流形，則依(1)在M上定義出一個Riemann度量g，使得(M，g)通過f與等距。如此定義的g稱為由f 從誘導的Riemann度量，注意此處與定義3不同的是，M上可能未曾定義過度量，或者即使已有度量，也與此處的g沒什麼關係。
誘導度量概念可從以下模型得到直觀說明：構想我們要測量圓柱面上一曲線C之長，但尚未找到測量方法，甚至不知道對C的長應如何定義，則可將C染上顏色,然後將圓柱面在平面上滾動，使C印出一條平面曲線C，自然就以C1的長度作為C的長。上述程式無非是將平面的度量誘導到圓柱面上。
誘導度量概念是構造Riemann流形模型的一個有意思的工具，它往往導致一些饒有趣味的結果。
