基本介紹
- 中文名：秦王暗點兵
- 實質：物不知其數問題
- 實際：孫子定理
- 又稱：中國剩餘定理
典故,解法,舉一反三,問題,解法1,解法2,解法3：古人智慧,
典故
解法
這個問題很簡單：用3除餘2，用7除也餘2，所以用3與7的最低公倍數21除也餘2，而用21除餘2的數我們首先就會想到23；23恰好被5除餘3，所以23就是本題的一個答案。
這個問題之所以簡單，是由於有被3除和被7除餘數相同這個特殊性。如果沒有這個特殊性，問題就不那么簡單了，也更有趣得多。
舉一反三
問題
我們換一個例子；韓信點一隊士兵的人數，三人一組余兩人，五人一組餘三人，七人一組餘四人。問：這隊士兵至少有多少人？
解法1
這個題目是要求出一個正數，使之用3除餘2，用5除餘3，用7除餘4，而且希望所求出的數儘可能地小。
如果一位同學從來沒有接觸過這類問題，也能利用試驗加分析的辦法一步一步地增加條件推出答案。
例如我們從用3除餘2這個條件開始。滿足這個條件的數是3n+2，其中n是非負整數。
要使3n+2還能滿足用5除餘3的條件，可以把n分別用1，2，3，…代入來試。當n=1時，3n+2=5，5除以5不用餘3，不合題意；當n=2時，3n+2=8，8除以5正好餘3，可見8這個數同時滿足用3除餘2和用5除餘3這兩個條件。
最後一個條件是用7除餘4。8不滿足這個條件。我們要在8的基礎上得到一個數，使之同時滿足三個條件。
為此，我們想到，可以使新數等於8與3和5的一個倍數的和。因為8加上3與5的任何整數倍所得之和除以3仍然餘2，除以5仍然餘3。於是我們讓新數為8+15m，分別把m=1，2，…代進去試驗。當試到m=3時，得到8+15m=53，53除以7恰好餘4，因而53合乎題目要求。
解法2
我們設至少有n個人
依題意得 n用3除餘2，用5除餘3，用7除餘4
則 2n用3除餘1，用5除餘1，用7除餘1（2*2除以3餘1,3*2除以5餘1,4*2除以7餘1）
所以我們求3、5、7的最低公倍數-----105
又因為2n會餘1 所以2n=105+1=106
所以n=106/2=53
（是不是比解法1簡單多了）
解法3：古人智慧
我國古代學者早就研究過這個問題。例如我國明朝數學家程大位在他著的《算法統宗》（1593年）中就用四句很通俗的口訣暗示了此題的解法：三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝，七子團圓正半月，除百零五便得知。
"正半月"暗指15。"除百零五"的原意是，當所得的數比105大時，就105、105地往下減，使之小於105；這相當於用105去除，求出餘數。
這四句口訣暗示的意思是：當除數分別是3、5、7時，用70乘以用3除的餘數，用21乘以用5除的餘數，用15乘以用7除的餘數，然後把這三個乘積相加。加得的結果如果比105大，就除以105，所得的餘數就是滿足題目要求的最小正整數解。
按這四句口訣暗示的方法計算韓信點的這隊士兵的人數可得：70×2+21×3+15×4=263，263=2×105+53，所以，這隊士兵至少有53人。
在這種方法裡，我們看到：70、21、15這三個數很重要，稍加研究，可以發現它們的特點是：
70是5與7的倍數，而用3除餘1；
21是3與7的倍數，而用5除餘1；
15是3與5的倍數，而用7除餘1。
因而，
70×2是5與7的倍數，用3除餘2；
21×3是3與7的倍數，用5除餘3；
15×4是3與5的倍數，用7除餘4。
若一個數除以a余b，這個數加上a的倍數再除以a餘數仍然為b。所以，把70×2、21×3與15×4都加起來所得的結果能同時滿足"3除餘2、用5除餘3、用7除餘4"的要求。一般地， 70m+21n+15k （1≤m<3， 1≤n<5，1≤k<7）
能同時滿足"用3除余m 、用5除余n 、用7除余k "的要求。除以105取餘數，是為了求合乎題意的最小正整數解。
上面的方法所依據的理論，在中國稱之為孫子定理，國外的書籍稱之為中國剩餘定理。
