科茨螺線

簡介

科茨螺線是一種特殊曲線，指極坐標方程為p=asinρθ或p=acosρθ的曲線，即玫瑰線。

根據三角函式的特性可知，科茨螺線是一種具有周期性且包絡線為圓弧的曲線，曲線的幾何結構取決於方程參數的取值，不同的參數決定了玫瑰線的大小、葉子的數目和周期的可變性。這裡參數a（包絡半徑）控制葉子的長短，參數n控制葉子的個數、葉子的大小及周期的長短。

對於方程式ρ=5sin(3θ)、ρ=5sin(2θ)、ρ=5sin(3θ/2)，分別對應的是三葉、四葉和六葉玫瑰線。

玫瑰線總面積（a=π）

科茨螺線的參數主要是a、n及θ，其值的大小決定科茨螺線的形狀，包括葉子數、葉子長度寬度和曲線閉合周期。係數a只跟葉子的長度有關，而n和θ則影響科茨螺線的多樣性和周期性。通過計算機對方程式ρ=asin(nθ)的大量試驗，證明科茨螺線具有如下三個特性：

1、當n為整數時，若n為奇數，則玫瑰線的葉子數為n，閉合周期為π，即θ角在0-π內玫瑰線是閉合的。當n為偶數時，玫瑰線的葉子數為2n，閉合周期為2π，即θ角取值在0-2π內玫瑰線才是閉合和完整的。

2、當n為非整數的有理數時，設為L/W，且L/W為簡約分數，此時，L與W不可能同時為偶數。L決定科茨螺線的葉子數，W決定科茨螺線的閉合周期（Wπ或2Wπ，見特性3）及葉子的寬度，W越大，葉子越寬。但W也會同時影響葉子數的多少，對同一奇數值L，在W分別取奇數和偶數值時，葉子數也是不同的。

3、當L或W中有一個為偶數時，科茨螺線的葉子數為2L，閉合周期為2Wπ。當L或W同為奇數時，科茨螺線的葉子數為L，閉合周期為Wπ。換句話說，生成偶數個葉子的科茨螺線，L或W中必須有且只有一個為偶數值，且L為葉子數的一半，而生成奇數個葉子的玫瑰線，L和W都必須為奇數，且L值就是葉子數。

以極點為反演極的反演圖形

或

。

當p=1/3時是麥克勞林三等分角曲線。

當p=2時是十字線。