科克倫定理

科克倫定理是科克倫於1934年提出的定理。獨立正態隨機變數的線性函式仍然服從正態變數，但是，獨立正態隨機變數的二次型函式與χ²分布有著密切的聯繫，科克倫定理深刻地揭示了這一問題的實質，它在方差分析問題中起著重要的作用。

基本介紹

• 中文名：科克倫定理
• 外文名：Cochran theorem
• 所屬學科：數學
• 提出者：科克倫
• 相關概念：科克倫(Cochran)定理的推廣形式

基本介紹

如果 是獨立的標準常態分配的變數， 為具有秩 的變數 的二次式。如果 ，那么 為獨立的自由度分別為 的 變數的充分必要條件是 。這一定理套用到回歸分析中，如果 的n個觀察值均來自同樣的均值為 ，方差為 的常態分配，SSTO是總的離差平方和，自由度為n-1可分解成K個平方和SS_r，其自由度分別為 ，如果 ，那么 項分別是自由度為 的 變數。

線上性統計推斷中，科克倫(Cochran)定理及其推廣形式發揮著重要的作用，它主要研究獨立正態隨機變數的二次型函式的性質。

科克倫定理及其證明

科克倫定理 設隨機變數 相互獨立，且都服從常態分配 ，記 ，其中 是n階非負定的對稱陣，且其秩為 ， 又是隨機(列)向量

表示 的轉置 。如果

那么， 相互獨立且 服從 的充分必要條件是

證明 不失一般性，假定，不然的話，可以先令

這時，相互獨立，且都服從。

由分布的可加性立即可以推得必要性成立，下面證明充分性。

假定成立，對每一個，由於A_j是n階非負定的方陣，因此由線性代數理論知道，存在秩為n_j的矩陣C_j，使得把分塊矩陣記作C。易見，C是n階方陣。作變換

由

推知，這裡表示n階單位陣．這表明C是正交陣。因此，是相互獨立的隨機變數，且都服從N(0，1)，注意到（n₀理解為0)

這表明相互獨立且服從。