相對內部

相對內部(relative interior)是指拓撲線性空間中的集合在相對意義下的內部。設A是拓撲線性空間X的子集，A相對其閉仿射包的內部稱為A的相對內部。這個概念在拓撲線性空間理論中不太用，但是在凸集分離定理的敘述中，它起重要作用。

基本介紹

• 中文名：相對內部
• 外文名：relative interior
• 所屬學科：數學
• 相關概念：凸集分離定理，仿射包等

定義

有些凸集的內部是空的，然而把它作為其仿射包的子集考慮時，內部卻是不空的。例如，設，其中，在中，。然而在仿射包中考慮時，C的內部是不空的，因此引入凸集的相對內部的概念。

相對內部：設E為線性拓撲空間，為凸集，把C看作它的仿射包的子集時C的內部稱為C的相對內部(relative interior)，記為。

相對邊界：設E為線性拓撲空間，為凸集，把C看作它的仿射包的子集時，C的邊界稱為C的相對邊界；記為。

對於前面提到的凸集，它的相對內部與相對邊界分別是：

相關性質定理

關於凸集C的相對內部與相對邊界有以下性質。

性質1設，若C為凸集，而且，則

(因為)。

性質2設，若C為凸集，則

1.是凸集;

2.。

性質3設，若C為有界凸集，則

性質4設，均為凸集，而且，則

根據凸集的相對內部的定義可得以下定理。

定理1 設是凸集。

1. 若，則；

2.。

定理2 設是凸集，，則，

1.；

2. ；

3.；

4.。

定理3 設為非空凸集，，則。

定理4 設為非空凸集，則點的充分必要條件是：存在，使

定理5 設均為非空凸集，，則

1. ；

2.。

定理6 設為非空凸集，為由到的線性映射，則

1.；

2.。

定理7 設為凸集，且，則，

1.；

2. 。