直接疊代法

概述

非線性方程一般很難求得數值解，而且在實際套用中也沒有必要求得精確的數值解，往往只要求得滿足一定精度要求的近似解。常用的非線性方程求解方法主要有兩種：搜尋法（直接法）和疊代法。直接疊代法就最簡單的疊代法。

直接疊代法的解思路為使用某個固定公式反覆校正根的近似值，使其逐步精確，直到得出滿足精度要求的結果位置。非線性方程的一般形式為f(x)=0，用疊代法求解時，首先需要將一般形式的方程改寫為以下形式

x=g(x) （1）

上式左右兩端都含有未知的x，我們用一個估計值x0帶入方程右端求出x，將求出的x寫為x1，方程變為x1=g(x0)。再將x1帶入右端，又可求得x2，這樣可得

xk+1=g(xk) （2）

上式即疊代格式，由上式反覆計算可得到一個數列x0，x1，x2，…，xk，…。

如果此數列有極限，這個極限就是方程x=g(x)的根。所得數列的極限存在時，稱疊代格式收斂，反之，則稱疊代格式發散。此時無法通過疊代求解。如果兩次疊代計算的偏差小於規定的允許誤差ε，即滿足收斂判據

∣xk+1-xk∣<ε （3）

則終止計算。

如果g(x)有連續的一階導數g’(x)，若滿足∣g’(x*)∣<1，則對任意初值x0均收斂。g’(x)取值不同，疊代過程的收斂情況不同。

直接疊代法的具體步驟：① 給定初值x0、計算精度；

② 用疊代格式xk+1=g(xk)進行疊代計算；

③ 判斷疊代結果是否滿足收斂判據，如果滿足，終止計算並輸出結果，否則返回步驟②。