發散級數

發散級數

發散級數指不收斂的級數。一個數項級數如果不收斂,就稱為發散,此級數稱為發散級數。一個函式項級數如果在(各項的定義域內)某點不收斂,就稱在此點發散,此點稱為該級數的發散點。按照通常級數收斂與發散的定義,發散級數是沒有意義的。然而為了實際的需要,可以確立一些法則,對某些發散級數求它們的“和”,或者說某個發散級數在特定的極限過程中,逐漸逼近某個數。但是在實際的數學研究以及物理等其它學科的套用中,常常需要對發散級數進行運算,於是數學家們就給發散級數定義了各種不同的“和”,比如Cesàro和,Abel和,Euler和等,使得對收斂級數求得的這些和仍然不變,而對某些發散級數,這種和仍然存在。

基本介紹

  • 中文名:發散級數
  • 外文名:divergent series
  • :不收斂的級數
  • 比如:級數1+2+3+4……和1-1+1-1……
  • 遵照:柯西意義
簡介,級數的求和,

簡介

發散級數指不收斂的級數。一個數項級數如果不收斂,就稱為發散,此級數稱為發散級數。一個函式項級數如果在(各項的定義域內)某點不收斂,就稱在此點發散,此點稱為該級數的發散點。
記無窮級數
.
當n→
時,若部分和數列{
}有極限s,即
則稱無窮級數
收斂,且稱s為無窮級數
的和,並記為
若數列{
}極限不存在,則稱無窮級數
發散。
總之,發散是收斂的否定。

級數的求和

(summ ation ofseries)
賦予某些發散級數以“和”的法則,按照柯西的定義,收斂級數以其部分和的極限為和,這種和是有限(項的)和的直接推廣,可稱為柯西和,按照這種定義,發散級數是沒有和的,從而只是沒有實際意義的數學記號而已。然而數學的發展表明,完全排斥發散級數是不恰當的。例如,函式 1/(1+x2) 在 x=±1 時是有意義的,而在其泰勒展開式
中令x=±1卻得到發散級數
,這說明它應該是有“和”的。
再如連續函式的傅立葉級數可能是發散的,但其前 n 個部分和的算術平均當 n→∞ 時卻總有確定極限,這說明這些級數是可以有“和”的。在這些情況下,人們需要也可以對某些發散級數的“和"作出合理的解釋。於是出現這樣一些法則,用它可以確定任意級數有和或者沒有和,並在前一種情況下,給出求和的方法,這種法則就稱為級數的求和。
這種法則是很多的,如果將某個這種法則稱為 M 求和法,而
按 M 求和法是有和的,並可求出和為S,則稱為 M 可和的,並記為
級數求和主要是針對發散級數提出來的。每一種求和法都能使某些發散級數有和,同時又希望按照它,所有的收斂級數都是可和的,並且所求出的和與其柯西和相等,這樣的級數求和方法就稱為正則的。級數的正則求和法是收斂性(柯西和)概念的直接推廣,在調和分析、通近論等數學學科中有很多套用。
每一種有意義的級數求和法表面上都有很重的主觀定義色彩,但在數學內部多半都可找到它的深刻背景,像阿貝爾求和法,源於關於泰勒級數阿貝爾極限定理;而算術平均求和法,就與傅立葉級數部分和的性態有關。

相關詞條

熱門詞條

聯絡我們