病態矩陣

求解方程組時如果對數據進行較小的擾動，則得出的結果具有很大波動，這樣的矩陣稱為病態矩陣。

在求解任何反問題的過程中通常會遇到病態矩陣問題，而且病態矩陣問題還未有很好的解決方法，尤其是長方形、大型矩陣。目前主要有Tikhonov、奇異值截斷、奇異值修正、疊代法等方法。

基本介紹

• 中文名：病態矩陣
• 外文名：ill-conditioned matrix
• 方法：奇異值修正、疊代法等
• 對象：奇異值修正、疊代法等
• 前提：遇到病態矩陣問題

簡介

病態矩陣是一種特殊矩陣。指條件數很大的非奇異矩陣。病態矩陣的逆和以其為係數矩陣的方程組的界對微小擾動十分敏感，對數值求解會帶來很大困難。

在求解任何反問題的過程中通常會遇到病態矩陣問題，而且病態矩陣問題還未有很好的解決方法，尤其是長方形、大型矩陣。目前主要有Tikhonov、奇異值截斷、奇異值修正、疊代法等方法。

求解方法

求解方程組時對數據的小擾動很敏感的矩陣。

解線性方程組Ax=b時，若對於係數矩陣A及右端項b的小擾動 δA、δb，方程組 (A+δA)χ=b+δb的解 χ 與原方程組Ax=b的解差別很大，則稱矩陣A為病態矩陣。方程組的近似解 χ 一般都不可能恰好使剩餘 r=b-Aχ 為零，這時 χ 亦可看作小擾動問題Aχ=b-r(即δA=0，δb=-r) 的解，所以當A為病態時，即使剩餘很小，仍可能得到一個與真解相差很大的近似解。

判定方法

判定矩陣是否病態以及衡量矩陣的病態程度通常是看矩陣A的條件數K(A)=‖A-1‖*‖A‖ 的大小，其中 A-1 為矩陣 A 的逆， ‖‖ 表示對矩陣取某一種範數。 K(A) 稱為 A 的條件數，它很大時，稱 A 為病態，否則稱良態； K(A) 愈大， A 的病態程度就愈嚴重。

對小擾動問題 (A+δA)χ=b+δb 與原問題 Ax=b 的解有估計式

對矩陣求逆亦有估計式

從上估計式可以看出條件數對解方程組及矩陣求逆的影響。

希爾伯特矩陣是一類著名的病態矩陣，其定義為。式中。

由於H_n對稱正定，當取 ‖H_n‖ 為歐氏範數時，K(H_n) 即為H_n 的最大與最小特徵值之比。對n=7,8,9,10有K(H₇)=4.75×10⁸，K(H₈)=1.53×10¹⁰，K(H₉)=4.93×10¹¹，K(H₁₀)=1.60×10¹³。

當n較大時，有近似表達式K(H_n)～e^3.5n。在一台相當於 10 位十進制字長的計算機上對希爾伯特矩陣求逆或解方程組時，如 n≥8 ，則所得解答連一位準確數字都沒有。