基本介紹
- 中文名：球面圓
- 外文名：Spherical circle
- 所屬學科：數學
- 所屬問題：球面幾何
- 簡介：球面與平面相交時的交線圓
基本介紹,相關概念及性質,
基本介紹
半球以它的直徑為旋轉軸，旋轉所成的曲面叫做球面。球面所圍成的幾何體叫做球體，簡稱球。半圓的圓心叫做球心。連結球心和球面上任意一點的線段叫做球的半徑。連結球面上兩點並且經過球心的線段叫做球的直徑。用一個平面去截一個球，截面是圓面，這個圓面叫做球面圓。經過球心的平面截得的圓叫做大圓。不經過球心的平面截得的圓叫做小圓。
垂直於球面圓所在平面的直徑的兩個端點(對徑點)稱為球面圓的球面中心，亦稱為球面圓的極。球面大圓的圓弧、優弧、劣弧、余弧、共軛弧依次稱為球面大圓弧、大圓優弧、大圓劣弧、余大圓弧、共軛大圓弧。當提到連結球面上非對徑的兩點的大圓弧時，通常指大圓劣弧，此大圓弧的長度稱為此兩點間的球面距離，因為球面上非對徑的兩點與球心不共線而決定一個平面，這兩點就在由此平面與球面相交的惟一大圓上，所以上述球面距離的定義適用於球面上非對徑的任意兩點，至於球面的兩個對徑點，自然地以半大圓弧的長度作為它們的球面距離，球面圓的球面中心與球面圓上的點的球面距離相等，即球面圓是球面上與一個定點的距離等於定值的點的軌跡，此定點即球面圓的球面中心或極，這個定值稱為球面圓的球面半徑，亦稱為球面圓的角半徑、弧半徑或極距，球面大圓的球面半徑等於一象限弧，球面小圓與兩個球面中心(極)相應有小於和大於一象限弧的兩個球面半徑，球面半徑小於一象限弧的極稱為近極，另一個稱為遠極，由於球面小圓的球面中心通常是指離該圓所在平面的距離較近的那個近極，因此，球面小圓的球面半徑通常指小於一象限弧的那一個。
相關概念及性質
球的任意直徑與球面相交於兩點，這兩點叫做直徑對點。
定理1通過球面上任意兩點(非直徑對點)，有且僅有一個大圓。
證明因為過球面上任意兩點與球心能決定唯一平面，它與球的交線就是所求的大圓。通過非直徑對點A、B的大圓，以大圓B或大圓BA表示，並說它是連結兩點A和B的大圓。
定理2同一球面上的兩個大圓，必交於兩個直徑對點。
證明因為兩個大圓所在的平面，有一個公共點(球心)，因而它們必交於一直線，這直線與球面的交點，便是兩個大圓的交點， 顯然它們是直徑對點。
從上面兩個定理容易看出， 大圓把球面分或兩個相等的部分(半球)， 同一球面上的兩個大圓交於兩點，並且每個大圓都被這兩個點分成兩個相等的部分(半圓)。
任意大圓上的兩點A和B，將大圓分成兩部分，都叫做以A、B為端點的大圓弧，若點A和B是直徑對點時， 則大圓被它們所分成的兩弧相等, 即都是半圓.若點A、B不是直徑對點，則以A、B點為端點的兩個大圓弧中,有一個所對的圓心角∠AOB( 在大圓所在的平面上)小於平角， 而另--弧所對的圓心角大於平角，這時， 把前一弧叫做大圓的以A、B為端點的劣弧，後一個叫做以A、B為端點的優弧。
如果兩個大圓弧所對的圓心角相等，就說兩弧相等。
一般說連結兩點的大圓弧，一概指劣弧。
以點A、B為端點的大圓弧(劣弧)，叫做球面上兩點A和B間的球面距高， 簡稱A和B的距離。
球面上的一點和以此點為公共端點的兩個大圓弧所構成的球面圖形，叫做球面角，或簡稱角，這個點叫做它的頂點，兩個大圓弧叫做它的邊。
若構成球面角的兩個大圓弧，分別通過點B和C,它們的公共頂點是A時，把這個角記作∠BAC或∠CAB(圖1)。
圖1球面角的大小，可以用過頂點兩邊切線的夾角來度量，顯然這兩個切線的夾角，就是兩大圓弧(邊)所在平面構成的二面角的平面角，如圖1的二面角B-OA-C的平面角。 因方它們分別垂直於棱OA,因此，球面角∠BAC的大小等於它所對應的面角B-OA-C的大小。
兩個球面角，如果它們所對應切線夾角相等時，就說這兩個球面角相等.這時它們所對應的二面角也必然相等。類似的可以引入兩個球面的“大於” 與“小於”的概念。 也可以引入兩角的和、差， 以及直角、 銳角、鈍角、 角平分線等概念。
球面上的直徑對點， 和以它們為端點的兩個半圓所構成的圖形，叫做球面二角形。 構成這二角形的半圓叫做它的邊，兩個直徑對點叫做它的頂點， 頂點和邊所構成的球面角，叫做二角形的角，顯然球面二角形的角相等(圖2)。
圖2若兩大圓(或大圓弧)的交角是直角時， 則這兩個大圓(或大圓弧)叫做垂直(圖3)。
圖3垂直於已知大圓(或小圓)所在平面的直徑，在球面上的直徑對點，叫做大圓(或小圓)的極。
定理3 通過球面上所設大圓兩極以外的一個點， 有一個並且只有一個大圓垂直於已知大圓。
證明 設已知大圓a及不與a的兩極重合的點P(圖3)，過PO作垂直於大圓a所在平面的平面，這個平面有一個而且只有一個。設這個平面與球交於大圓b，則b垂直於a，並且是唯一的。
定理4 兩大圓垂直的必要且充分的條件，是其中一個通過另一個的極。
證明若大圓b過大圓a的極點M, 則因為MO垂直於大圓a所在的平面，顯然大圓b所在的平面垂直於大圓a所在的平面，所以a與b的交角是直角，因此充分性成立(圖3)，
反之， 若大圓b垂直於大圓a，則兩大圓所在的平面垂直。設M為大圓a的極點， 則MO垂直於大圓a所在的平面，而O在大圓b所在的平面上，所以OM在這個平面上，從而b通過點M，因此，必要性也成立。
自已知點到已知大圓所作的垂直大圓弧與已知大圓的兩個交點中，其球面距離較近的，叫做已知點到已知大圓的球面距離。
由極的定義可以得出：球面上大圓或小圓上的點，到它的極的球面距離總相等，大圓上的點到它的極的球面距離是大圓周的四分之一”，因此， 大、小圓都可看成是到球面一個定點有等球面距離的點的軌跡。
