特徵根法

特徵根法是數學中解常係數線性微分方程的一種通用方法。特徵根法也可用於通過數列的遞推公式（即差分方程，必須為線性）求通項公式，其本質與微分方程相同。例如 稱為二階齊次線性差分方程： 加權的特徵方程。

基本介紹

• 中文名：特徵根法
• 外文名：Characteristic root method
• 用途：解常係數線性微分方程
• 方式：通過數列的遞推公式
• 範圍：數學

定義

特徵根法是解常係數線性微分方程的一種通用方法。

特徵根法也可用於通過數列的遞推公式（即差分方程，必須為線性）求通項公式，其本質與微分方程相同。

稱為二階齊次線性差分方程： 加權的特徵方程。

利用特徵根法解方程

對微分方程：

設特徵方程 兩根為r₁、r₂。

① 若實根r₁不等於r₂

.

② 若實根r₁=r₂

③ 若有一對共軛復根a±bi

對差分方程：

1） 若特徵方程有兩個不等實根r₁、r_2，

則

其中常數c₁、c₂由初始值a₁=a、a₂=b 唯一確定。

(1)

(2)

2） 若特徵方程有兩個相等實根r₁=r₂=r

其中常數c₁、c₂由初始值唯一確定。

(1)

(2)

3 ）若特徵方程有一對共軛復根，則有

一類重特徵根對方程解的簡便解法

對於常係數齊次線性微分方程組 ，當矩陣A的特徵根 的重數是 ，對應的m_i個初等因子是 ， 時，它對應方程中ni個線性無關解，其結構形如 ，此時多項式 的次數小於等於 ， 。

由於M_i計算起來非常困難,本文利用相似矩陣的特點和Jordan標準型在 與 之間找到了一個便於套用的多項式 次數的上界，使計算起來更加方便和有效。