牛頓-柯特斯公式

在數值分析上，梯形法則和辛普森法則均是數值積分的方法。它們都是計算定積分的。

這兩種方法都屬於牛頓-柯特斯公式。它們以函式於等距n+1點的值，取得一個n次的多項式來近似原來的函式，再行求積。

基本介紹

• 中文名：牛頓-柯特斯公式
• 外文名：Newton–Cotes formulas
• 分類：數理科學

梯形法則

梯形法則是：

這等同將被積函式近似為直線函式，被積的部分近似為梯形。

要求得較準確的數值，可以將要求積的區間分成多個小區間，再個別估計，即：

可改寫成

其中對

辛普森法則

辛普森法則（Simpson's rule，又稱森遜法則、辛普森法則）是：

同樣地，辛普森法則也有多重的版本：

或寫成

牛頓-柯特斯公式

牛頓-柯特斯公式（Newton-Cotes rule / Newton-Cotes formula）以Roger Cotes和艾薩克·牛頓命名。其內容是：

其中 ， 是常數（由 的值決定）， 。

梯形法則和辛普森法則便是 的情況。

亦有不採用在邊界點來估計的版本，即取 。

原理

假設已知的值。

以點進行插值，求得對應的拉格朗日多項式。

對該次的多項式求積。

該積分便可以作為的近似，而由於該拉格朗日多項式的係數都是常數（由決定其值），所以積函式的係數（即）都是常數。

缺點

對於次數較高的多項式而有很大誤差（龍格現象），不如高斯積分法。