漸開線

與一條曲線C的所有切線相交成直角的曲線Γ，稱為曲線C的漸開線(evolent)。一般的漸開線指“圓的漸開線”。在平面上，一條動直線（發生線）沿著一個固定的圓（基圓）作滾動的過程中，此直線上任意一點的軌跡，稱為此基圓的一條漸開線。

基本介紹

• 中文名：漸開線、漸伸線、漸屈線
• 外文名：evolent
• 學科：數學、機械工程
• 廣義釋義：與曲線所有切線相交成直角的曲線
• 狹義指：圓的漸開線
• 性質：基圓以內無漸開線，等

定義

如圖1所示，與一條曲線C的所有切線相交成直角的曲線Γ，稱為曲線C的漸開線；原曲線C稱為(對它的任意漸開線) C₁的漸屈線。同一條平面曲線(漸屈線)，有無限條漸開線。任何兩條漸開線對應點的距離是常數。若曲線A是曲線B的漸開線，曲線B是曲線A的漸屈線。在曲線上只有一條漸屈線。漸開線上任一點法向壓力的方向線與該點速度方向線所夾銳角稱為該點的壓力角。

圖1

一般的，漸開線指“圓的漸開線”。一條直線在一個圓上作無滑動的滾動時，直線上一定點運動的軌跡稱為“圓的漸開線”，而稱該圓為漸開線的“基圓”，直線為漸開線的“發生線”，如圖2所示。即若在圓周繞有無彈性的細繩，且保持這個圓固定不動，而將細繩拉緊並逐漸展開，，讓該線繞圓軸運動且始終與圓軸相切，那么線上一個定點在該平面上的軌跡就是漸開線。

漸開線的形狀僅取決於基圓的大小，基圓越小，漸開線越彎曲；基圓越大，漸開線越平直；基圓為無窮大時，漸開線為斜直線。

圖2

機械上為了傳動平穩，齒輪的齒廓線大多採用漸開線。

漸開線方程

若基圓的半徑為r，以基圓圓心為原點建立坐 標系，則可得漸開線的參數方程：

式中，為發生線與基圓的切點與圓心連線和X軸間 的夾角。

漸開線的性質

（1）漸開線的發生線展直前後長度不變，即發生線沿基圓滾過的長度等於基圓上被滾過的弧長，如圖3(a)中，弧。

圖3

（2）漸開線上任一點的法線必與基圓相切。KB為漸開線在K點的法線，發生線沿基圓作純滾動，所以線段為漸開線上點的法線，且必與基圓相切。B是漸開線K點處的曲率中心，BK是曲率半徑；A處的曲率半徑為0。漸開線各點的曲率半徑是變化的，K點離基圓越遠，曲率半徑越大，漸開線形狀越平緩。如圖3(b).

（3）漸開線的形狀取決於基圓的大小，同一基圓上的漸開線形狀完全相同。基圓越大漸開線越平直，基圓半徑為無窮大時，漸開線就成為直線，即基圓半徑，漸開線直線，如圖3(c)。

（4）因漸開線是從基圓開始向外展開的，故基圓以內無漸開線；漸開線上各點壓力角不相等。離基圓越遠，壓力角越大。如圖3(d)。

漸開線的畫法

已知圓的直徑D，如圖4所示，畫漸開線的方法為：

圖4漸開線畫法

(1)將圓周分成若干等分(圖中為12等分)，將周長πD作相同等分；

(2)過周長上各等分點作圓的切線；

(3)在第一條切線上，自切點起量取周長的一個等分（πD/12）得點1；在第二條切線上，自切點起量取周長的兩個等分（2xπD/12）得點2；依此類推得點3、4、……、12；

(4)用曲線板光滑連線點1、2、3、……、12。即得圓的漸開線。