流體力學的能量方程是指是在考慮密度、溫度、內能變化時，反映包含內能的能量守恆定律的方程，根據所考慮的因素多少，流體力學的能量方程具有不同的形式。
基本介紹
- 中文名：流體力學的能量方程
- 外文名：Energy equation in fluid mechanics
- 含義：包含內能的能量守恆定律的方程
能量方程,參考書目,
能量方程
是在密度均勻情況下反映機械能守恆的方程；在考慮密度、溫度、內能變化時，反映包含內能的能量守恆定律（見熱力學第一定律）的方程。對於流場中一切量都是光滑函式的情況，它可列成微分方程形式，有時也可以積分形式寫出；在某些對準確度要求不高的情況下，可以列成較粗略的但數學上大為簡化的代數關係式。
能量方程中包含動能、徹體力(如重力)的勢能（對於氣體,如果空間範圍不大,重力的勢能可忽略不計）和功（壓力p做的功或粘性力做的功）。在考慮密度ρ變化的情形,能量方程必須包含內能U；在考慮粘性時還要考慮由於內摩擦引起的機械能的損耗（轉變為熱能）和由於熱傳導引起的熱能在流體質點間的傳遞。有時還要考慮化學反應能、輻射形式傳熱等。套用範圍廣泛的使用了很久的一些能量方程有如下幾種形式：
無粘不可壓縮流體的能量方程 對於無粘、密度均勻不變的流體，伯努利方程反映了機械能守恆。流體力學的理論說明它是定常流運動中歐拉方程沿流線的積分，因此，原則上它來自動量守恆定律。
無粘可壓縮流體的能量方程 在無粘、可壓縮（密度在運動中有顯著變化）流體的能量方程中要考慮熱力學溫度T和內能U的變化。如果限於絕熱運動，對流體質點列能量方程時，還要用到熱力學的概念和最簡單形式的熱力學第一定律
能量方程中包含動能、徹體力(如重力)的勢能（對於氣體,如果空間範圍不大,重力的勢能可忽略不計）和功（壓力p做的功或粘性力做的功）。在考慮密度ρ變化的情形,能量方程必須包含內能U；在考慮粘性時還要考慮由於內摩擦引起的機械能的損耗（轉變為熱能）和由於熱傳導引起的熱能在流體質點間的傳遞。有時還要考慮化學反應能、輻射形式傳熱等。套用範圍廣泛的使用了很久的一些能量方程有如下幾種形式：
無粘不可壓縮流體的能量方程 對於無粘、密度均勻不變的流體，伯努利方程反映了機械能守恆。流體力學的理論說明它是定常流運動中歐拉方程沿流線的積分，因此，原則上它來自動量守恆定律。
無粘可壓縮流體的能量方程 在無粘、可壓縮（密度在運動中有顯著變化）流體的能量方程中要考慮熱力學溫度T和內能U的變化。如果限於絕熱運動，對流體質點列能量方程時，還要用到熱力學的概念和最簡單形式的熱力學第一定律
, (1)
式中 dQ、dU分別為加於單位質量的熱量、內能的變化。曾經把滿足方程p=ρrT的氣體叫做理想氣體，自20世紀中期以來在流體力學中則把它改稱為完全氣體。對於常比熱容完全氣體模型，還把定容比熱容сv、定壓比熱容Cp都看作是常數，且r=сv(γ-1),式中γ=сp/сv稱為比熱容比又稱絕熱指數。當無粘常比熱容完全氣體的密度變化時，壓力所做的功為
。
把式(1)除以熱力學溫度T可得
。 (2)
在熱力學中把定義為比熵s的微分。式(2)表明了無粘、可壓縮流體在作絕熱運動時，每一流體質點的熵在運動過程中保持不變。但這並不是說所有不同的質點的熵都相同。式(2)還具體給出了常比熱容完全氣體的熵的表達式
(3)
式中S0是一積分常數。熵不變時由於сv是常數,也是常數。
對於定常流，利用式 (1)還可沿流線積分歐拉方程，得到無粘、可壓縮流體絕熱定常運動的伯努利方程（忽略重力，用v代表流速）
對於定常流，利用式 (1)還可沿流線積分歐拉方程，得到無粘、可壓縮流體絕熱定常運動的伯努利方程（忽略重力，用v代表流速）
常數（除了位勢流以外，不同流線的常數不同）。 (4)
或用焓把式(4)改寫成
。 (5)
對於常比熱容完全氣體，H=сpT同熱力學溫度T成正比。可見，式(5) 給出在無粘可壓縮流體的絕熱定常流動中,沿流線的熱力學溫度T隨流速v變化的關係。速度v=0的點（叫駐點）溫度最高是T0，溫度最低的點流速最大。
正激波的能量方程 正激波是指激波傳播的方向是和激波前、後流體速度的方向相同。通過激波的物理量有突躍，且不連續。正激波前、後的物理量分別用角標1、2加以區別。波前同波後的量之間要滿足能量守恆定律。在歐拉坐標系中,如果激波以速度D前進；相對於波前流體，它的傳播速度是D-v1=u1；相對於波後流體,它的傳播速度是D-v2=u2。正激波反映的能量守恆方程是
正激波的能量方程 正激波是指激波傳播的方向是和激波前、後流體速度的方向相同。通過激波的物理量有突躍，且不連續。正激波前、後的物理量分別用角標1、2加以區別。波前同波後的量之間要滿足能量守恆定律。在歐拉坐標系中,如果激波以速度D前進；相對於波前流體，它的傳播速度是D-v1=u1；相對於波後流體,它的傳播速度是D-v2=u2。正激波反映的能量守恆方程是
(6)
不論D是否隨時間變，式(6)都成立。如坐標系隨激波一同前進,則D=0,這時,式(6)和(5)在形式上就相同了。定常正激波的能量方程就屬於這種情況。如圖所示的鈍頭體，在超聲速繞流問題中，沿過正激波的流線，由於式(5)和(6)相同，可沿這條流線寫成(5)，把前方點同駐點(v=0)聯繫來看，可說明隕石以高速度落入大氣層時為什麼隕石頭部溫度會高到引起燒蝕。 以上具體寫出的各能量方程都忽略了粘性和熱傳導這兩種同分子輸運過程有關的現象，也沒有考慮熱輻射和化學反應（如燃燒）所生成的熱。
一般能量方程 如果對質點加熱（如用熱傳導、輻射、化學反應），單位質量流體加的熱用Q表示，T表示熱力學溫度，λ 表示熱導率，在單位時間內對單位質量的流體傳入的熱是。通常在考慮熱傳導時還要考慮粘性應力作功，它使動能轉化為熱，對於單位質量流體這個量叫做耗損函式。Φ的表達式對牛頓流體（見本構方程）是
一般能量方程 如果對質點加熱（如用熱傳導、輻射、化學反應），單位質量流體加的熱用Q表示，T表示熱力學溫度，λ 表示熱導率，在單位時間內對單位質量的流體傳入的熱是。通常在考慮熱傳導時還要考慮粘性應力作功，它使動能轉化為熱，對於單位質量流體這個量叫做耗損函式。Φ的表達式對牛頓流體（見本構方程）是
。 (7)
對於牛頓流體，用熱力學第一定律導出的能量方程為
(8)
這是最一般流體的能量方程。自20世紀50年代以來，有人還考慮非牛頓流體或是無粘流體中的電磁力效應，也有人考慮摻在流體中的液滴、粉塵（如煤粉、麵粉等固體細粉）的運動。每種情況都有各自具體的能量方程。
參考書目
錢學森著，徐華舫譯：《氣體動力學諸方程》，科學出版社,北京,1966。(H. W. Emmons,ed.,Fundamentals of Gas Dynamics, Section A, Oxford Univ. Press, London, 1958.)
