泰特猜想

泰特猜想(Tait's conjecture)是關於圖的著色的一個著名猜想，3正則圖的3邊正常著色稱為泰特著色。泰特猜想：每個簡單3正則3連通平面圖都有泰特著色，它與四色猜想等價，泰特(P.G.Tait)曾根據“每個3正則3連通平面圖都是哈密頓圖”的錯誤假設，給出了四色猜想的一個“證明”，塔特(W.T.Tutte)於1946年構造了一個3正則3連通的平面圖，在這圖上不存在哈密頓圖，這個圖稱為塔特圖，由此推翻了泰特於1880年給出的四色猜想的“證明”。

基本介紹

• 中文名：泰特猜想
• 外文名：Tait's conjecture
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：組合學(圖與超圖)
• 簡介：關於圖的著色的一個著名猜想

基本介紹

對於復阿貝爾簇 ，它的子群 同構於加法群 ．如果A是定義在數域K上，將 中所有點的坐標添加到K中，形成K的一個擴域 ， 是K的代數閉包量 的子域。伽羅瓦群 作用在子群A[n]上，給出G在 上的伽羅瓦表示，現在取素數 ，則有自然滿同態 ，於是有極限 ，這叫作阿貝爾簇A的泰特模。由極限過程知， 群同構於 ，其中 是1-adic整數環。群G通過取極限作用在 上，從而給出G在 中的1-adic表示。進而，若B是定義在K上的另一個阿貝爾簇，則所有從A到B的群同態形成加法群 ，而與G作用可交換的從 到 的群同態形成群 ，泰特猜想是說：

(1)G到 上的1-adic表示 是半單的；

(2)有群同構 ．

每個同態 自然誘導出泰特模之間的一個同態 ，而猜想(2)本質上相當於說： 由 所決定，即阿貝爾簇之間的同態由它在泰特模上的作用所決定，並且 到 的每個G-同態都是由某個 誘導出來的。

泰特猜想的證明

法爾廷斯首先證明了泰特猜想，然後由泰特猜想再推出關於阿貝爾簇的沙法列維奇猜想，這也就證明了關於曲線的沙法列維奇猜想和莫代爾猜想。

法爾廷斯證明泰特猜想和關於阿貝爾簇的沙法列維奇猜想的方法本質上是費馬於三百年前發明的無窮下降法，費馬在證明方程 沒有正整數解時，他假定 是一組正整數解，由此又導出另一組正整數解 ，使得c'<c，但是正整數不能無窮下降，由此導出矛盾．這個證明本質上利用了正整數的大小概念，並且對每個正實數c，不超過C的正整數只有有限多個．為了證明關於阿貝爾簇的沙法列維奇猜想，即定義在數域K上的g維主極化阿貝爾簇只有有限多個，使得它們在S之外的每個K-位上都有好的約化，法爾廷斯對每個這樣的阿貝爾簇A定義一個衡量大小的量h(A)，叫作A的高度。這個高度的定義比較複雜，但是它可以轉化成另一個比較容易敘述的高度概念，西格爾把K上的所有g維主極化阿貝爾簇作成一個新的射影代數簇n_g，叫作參量空間(moduli space)，也就是說，K上的每個g維主極化阿貝爾簇A是n_g中的一個點x，由於n_g是射影代數簇，它可嵌到K上的某個射影空間 中，我們可以在射影空間中定義一個高度概念，以K=Q為例，n維射影空間 的每個點可以唯一表示成 ，其中 是不全為零的整數並且沒有大於1的公因子，點x的高度定義為 ，不難看出，對於每個正實數c， 中滿足 的射影點x只有有限多個,對於一般的代數數域K，射影空間 中點x的高度h(x)也可以定義，並且有同樣的性質：高度有界的點只有有限多個，如果阿貝爾簇A對應於點x，則法爾廷斯證明兩個高度h(A)和h(x)本質上是一回事。

現在，K上每個g維主極化阿貝爾簇A對應參量空間n_g。的一個點，從而對應射影空間 中一個點，而其中在S外的K-位均有好的約化的阿貝爾簇形成n_g的一個子集合 ，它也是射影空間 中的一個子集合，利用泰特猜想可以證明 中子集合 。所有點的高度是有界的(證明中還使用了表示論等一系列結果，甚至還利用了德林-韋伊定理)，所有 是有限集合，從而只有有限多個阿貝爾簇在S之外的K-位均有好的約化，這就由泰特猜想證明了關於阿貝爾簇的沙法列維奇猜想。

法爾廷斯證明了泰特猜想也是使用了上述的“有界高度原則”，並且在技術細節中也使用了Zarhin等人的其他重要結果。