泛布爾代數公理體系屬於數學學科，該體系只取“0”和“1”兩個不同的值，公式為“xi-1 + xi-2 +...+ xi-ni=1”。
基本介紹
- 中文名：泛布爾代數公理體系
- 取值：只取“0”和“1”兩個不同的值
- 公式：xi-1 + xi-2 +...+ xi-ni=1
- 學科：數學
基本概念,邏輯值,因素與狀態變數,數學模型,泛布爾代數公理系統,基本符號,形成規則,泛布爾代數公理系統構造,邏輯補運算,
基本概念
邏輯值
泛布爾代數中的量，，稱為邏輯值。0、1又叫做邏輯常量。
因素與狀態變數
因素是系統表現出來的（運動）特徵的抽象。
例如在一位半加器“和”運算和“進位”運算的系統中，被加數、加數等便是因素。又如，某一化工控制過程的“溫度偏差”和“壓力偏差”都是該系統的因素。
因素不參與邏輯運算，只起名稱作用，也稱為名稱變數或名義變數，我們用帶下標的大寫英文字母表示，如X1，X2 等等。
將“反映因素所處(數值)狀態”的變數稱為狀態變數。狀態變數只能取兩個不同的邏輯值（0或1），或簡稱變數。
用帶2個下標（下標1-下標2）的小寫字母xi-j表示相應於因素Xi的第j 個狀態的狀態變數。
例如在三進制一位半加器“和”運算的系統中，反映“被加數”這一因素X1所處狀態的變數是“被加數為0”、“被加數為1”、“被加數為2”並分別用x1-1、x1-2和x1-3等狀態變數表示。狀態變數本身就是取值為0或者1的變數。x1-1取值為0，表明因素X1不處於第1個狀態（被加數不為0），而取值為1，表明因素X1處於第1個狀態（被加數為0）。反映“加數”這一因素X2所處狀態的變數是“加數為0”、“加數為1”、“加數為2”並分別用x2-1、x2-2和x2-3等狀態變數表示。X2-1取值為0，表明因素X2不處於第1個狀態（加數不為0），而取值為1，表明因素X2處於第1個狀態（加數為0）。其他狀態變數都有類似的解釋。
數學模型
用帶下標的大寫英文字母X1，X2，X3，... 表示考察系統中的諸因素。將其中任一因素Xi所可能出現的種種狀態的總數稱作相應於Xi的“狀態數”，記為ni ( i = 1，2， 3，......)。又用帶2個下標（下標1-下標2）的小寫字母xi-j ( i = 1,2,...； j = 1,2,..., ni) 表示相應於Xi的第j 個狀態。這裡xi-j是一個參與邏輯運算的變數，稱為狀態變數，即當第j個狀態出現時，xi-j 取值為1，而當第j個狀態不出現時，則xi-j取值為0。在泛布爾代數中，每個因素Xi在某一確定場合，僅呈現ni個狀態中的一個狀態。這是由概念的劃分規則所決定。即劃分的各個狀態互不相容，劃分的各狀態之邏輯和必須窮盡被劃分的因素。這一划分規則在狀態變數中的反映，就是要求如下兩規則同時得到滿足：
（1）
（2）對任何j， k， 只要 1 ≤ j < k≤ ni，必有xi-j · xi-k=0
此處，“·”和“+”仍然表示邏輯乘與邏輯加。
這二規則是從許許多多實際系統陳述中抽象得出，它便是泛布爾代數中的“狀態律”的實際背景。
例如在三進制一位半加器“和”運算的系統中，“被加數”這一因素的三個狀態變數x1-1，x1-2，x1-3中必須有一個狀態變數為真，而且這三個狀態變數彼此不可能同時為真，即：
x1-1+ x1-2+ x1-3=1
對任何j， k， 只要 1 ≤ j < k≤ 3，必有xi-j·xi-k=0
具體地說，上式還可寫成
x1-1 · x1-2=x1-1 · x1-3=x1-2 · x1-3=0
這即是說，三進制一位半加器運算中，被加數只能在0、1、2三個數中選擇一個，而這三個數中只有一個數在一次運算中出現，而不可能二個被加數同時出現。
“加數”這一因素的三個狀態變數x2-1，x2-2，x2-3中必須有一個狀態變數為真，而且這三個狀態變數彼此不可能同時為真，即：
x2-1+ x2-2+ x2-3=1
對任何j， k， 只要 1 ≤ j < k≤ 3，必有x2-j·x2-k=0
具體地說，上式還可寫成x2-1 · x2-2=x2-1 · x2-3=x2-2 · x2-3=0
顯而易見，這種數學模型中的規則，除了上面（1）與（2）兩個規則不同於布爾代數的“補余律”之外，其餘結合律、交換律、分配律和0-1律等均與布爾代數中一樣成立，故稱為泛布爾代數。為使上述論述形式化和嚴格化，下節確立泛布爾代數的形式公理構造。
泛布爾代數公理系統
基本符號
狀態變數 ：xi-1，xi-2，...， ，i=1，2，3，...
常 量 ： 0 ，1
運算符號 ： + (邏輯加) · (邏輯乘)
相 等 ： =
技術符號 ： （，）
形成規則
（1） 單獨一個常量或狀態變數符號是泛布爾代數項；
（2） 如果A和B是泛布爾項，則（A + B）和（A · B）是泛布爾代數項；
（3） 僅由（1）、（2）所形成的“項”才是泛布爾代數項；
（4） 若A和B均是泛布爾代數項，則A=B是泛布爾代數公式。
泛布爾代數公理系統構造
在下面公理中，A、B、C表示任一泛布爾代數項。
交換律：
A + B= B + A
A · B = B · A
分配律：
A ·(B + C) = (A · B) + (A · C)
A + (B · C ) = (A + B)·(A + C)
0—1律：
A + 0 = A
A · 1 = A
結合律：
(A + B)+ C = A + (B + C)
(A · B)· C= A · (B · C)
狀態律：對任一正整數i，存在唯一≥2的整數ni （狀態數）與之對應；
xi-1 + xi-2 +...+ xi-ni=1
xi-j · xi-k=0 (1≤j<k≤ni)
公理系統介紹完畢。
邏輯補運算
補運算遞歸定義如下：
/0= 1
/1= 0
/xi-j=xi-1+ xi-2 +...+ xi-(j-1) + xi-(j+1) +...+ xi-ni
若A、B的補分別為/A、/B，則
/(A + B) =/A · /B
/A · B = /A + /B
規定：泛布爾公式中最外層的括弧以及（A · B）+ C這樣一類表達式中的“·”及括弧可以省略。
已經證明了布爾代數中的補余律在泛布爾代數系統中是成立的。這樣，在泛布爾代數中(交換律、分配律、0—1律、結合律)和證明了的補余律一起構成布爾代數公理系統。因而布爾代數中的任一定理都可以在泛布爾代數中獲得證明，所不同的只是/A的內容而已。
