毛球定理

定理定義

具體來說，如果

是定義在一個單位球上的連續函式，並且對球上的每一點

，其函式值是一個與球面在該點相切的向量，那么總存在球上的一點，使得

在該點的值為零。直觀上（三維空間）可以想像為一個被“撫平”的“毛球”。這個定理最著名的陳述也正是“永遠不可能撫平一個毛球”。這個定理首先在1912年被布勞威爾證明。

實際上，根據龐加萊·霍普夫定理，三維空間中的向量場的零點處的指數和為2，即二維球面的歐拉示性數，因此零點必然存在。對於二維環面，其歐拉特徵數為0，因此“長滿毛的甜甜圈”是有可能被“撫平”的。推廣來說，對於任意的正則的偶數維緊流形，若其歐拉示性數不為0，則其上的連續的切向量場必然存在零點。

我們考慮常規的歐幾里得空間

里的一個單位球：

其上的拓撲為歐幾里得範數誘導的拓撲。這是一個n維的連通的緊子流形。直覺上，對一個單位向量

，它在單位球上的對應點可以用過

並且與其正交的一個

中的仿射超平面來逼近。

上的一個連續的向量場可以定義為連續映射：

，使得

與

正交。

定理：如果n為大於等於2的偶數，那么所有Sn上的連續的向量場X必然有至少一個零點。

對於奇數維的情形，存在連續（甚至解析）的切向量場，且處處皆不為零。

毛球定理在氣象學上的一個有趣套用是對於氣旋的研究。如果我們把大氣的運動：風看為地球表面的一個向量，那么這個向量場連續，因為覆蓋地球表面的大氣層可以看作是連續分布的。作為理想化的模型，我們可以忽略空氣的垂直運動，因為其相對於地球的半徑是很小的，或者說我們只研究其水平分量（也是連續的）。

這樣看來，一個完全沒有風的點（空氣靜止）對應著向量場的一個零點。事實上，就物理上來說，空氣是不可能在某一個區域處處絕對靜止的，因為空氣總在運動。但毛球定理說明零點存在，因此必然有空氣靜止的點，並且是孤立點。

一個物理學上的解釋是這些零點對應著氣旋或反氣旋的中心（風眼）。在這樣的零點附近，風的分布成螺旋形，但永遠不會從水平吹入中心或從其中吹出（只能上升或下降）。由毛球定理可以得出，地球表面永遠存在氣旋和風眼，在風眼處風平浪靜，但四周都有風環繞。