正規閉包

正規閉包(normal closure)是一種特殊的正規子群，群中包含某個子集的最小正規子群。代數擴張K/F稱為正規擴張，是指F[X]中每個在K中有根的既約多項式，在K[X]中可以分解為一次因子的乘積，它等價於K的任意元α在F上的最小多項式在K[x]中可以分解為一次因子的乘積。一個代數擴張K/F的正規閉包是指F的一個正規擴張，它包含K且它包含的K的任意真子域在F上都不是正規的。

基本介紹

• 中文名：正規閉包
• 外文名：normal closure
• 屬性：一種特殊的正規子群
• 所屬學科：數學(群論基礎)
• 相關概念：正規擴張，多項式的分裂域等

基本介紹

正規擴張(normal extension)是一種重要的代數擴張，它與多項式的分裂域密切相關，代數擴張稱為正規擴張，是指中每個在中有根的既約多項式，在中可以分解為一次因子的乘積，它等價於的任意元在上的最小多項式在中可以分解為一次因子的乘積。一個代數擴張的正規閉包是指的一個正規擴張，它包含且它包含的的任意真子域在上都不是正規的。值得注意的是，即使是正規擴張，也不能推出是正規的。例如，對域鏈

都是正規的，但不是正規的。

相關定義及定理

定義1 設 為域擴張， ，如果 在 中完全分解為一次因子的積，則稱 在 中分裂。

定義2 一個域擴張 稱作正規的，如果 中的任一不可約多項式若在 中有零點則在 中分裂。

命題1 對一個有限域擴張 ，下列三條件等價：

i) L是K的正規擴域；

ii) L是 中一個多項式的分裂域；

iii) 對任一域擴張 及任意 。

注1 對無限代數擴張，只要將ii)中的“一個多項式”改為“一組多項式”，命題1仍成立(在多項式個數不可數的情形需要用超限歸納法證明)。

定義3 設 為域擴張，其中F是K的正規擴域，如果F的任一包含L的真子域都不是K的正規擴域，則稱F為L在K上的一個正規閉包(直觀地說它是K的包含L的最小正規擴張)。

推論1 對任意代數擴張存在正規閉包F，它是L中所有元在K上的定義多項式的一個分裂域，且的正規閉包在-代數同構之下是唯一的。此外，任意的元可以擴張為的元。

推論2 設為域擴張，如果存在一個K的正規擴域使得對任意有，則為正規擴張。