正約數

約數：又稱因數，a除以整數b(b≠0) 除得的商正好是整數而沒有餘數，就是a能被b整除，或b能整除a。a稱為b的倍數，b稱為a的約數。約數是有限的，一般用最大公約數。所有數都有約數1，和數字本身。

在大學之前，"約數"一詞所指的一般只限於正約數。約數和倍數都是二元關係的概念，不能孤立地說某個整數是約數或倍數。一個整數的約數是有限的。同時，它可以在特定情況下成為公約數。

正約數是約數中的正數。

基本介紹

• 中文名：正約數
• 外文名：Positive divisors
• 中文拼音：zhengyueshu
• 分類：數學

正約數

約數：如果一個整數能被兩個整數整除，那么這兩個數就是這個數的約數。約數是有限的，一般用最大公約數。所有數都有約數1.

例：15能被3整除，我們就說15是3的倍數，3是15的約數。

正約數表示正的約數

如果是求所有公約數，那么還是用15舉例：15首先能被1整除，及1、15 。再考慮2，顯然不行，隨後考慮3，發現能整除，4也顯然不行，以此類推。最後所有公約數就是1、3、5、15.

在自然數（0和正整數）的範圍內，

任何正整數都是0的約數。

4的正約數有：1、2、4。

6的正約數有：1、2、3、6。

10的正約數有：1、2、5、10。

12的正約數有：1、2、3、4、6、12。

15的正約數有：1、3、5、15。

18的正約數有：1、2、3、6、9、18。

20的正約數有：1、2、4、5、10、20。

注意：一個數的約數必然包括1及其本身。

約數個數定理

對於一個大於1正整數n可以分解質因數：n=p1^a1*p2^a2*p3^a3*…*pk^ak, 則n的正約數的個數就是（a1+1）（a2+1）（a3+1）…(ak+1) . 其中p1，p2，p3…pk都是n的質因數;a1、a2、a3…ak是p1、p2、p3…pk的指數。

定理簡證

首先同上，n可以分解質因數：n=p1^a1*p2^a2*p3^a3*…*pk^ak,由約數定義可知p1^a1的約數有:p1^0, p1^1, p1^2......p1^a1 ，共（a1+1）個;同理p2^a2的約數有（a2+1）個......pk^ak的約數有（ak+1）個。故根據乘法原理：n的約數的個數就是(a1+1）（a2+1）（a3+1）…(ak+1)。

例題

例題：正整數378000共有多少個正約數？解：將378000分解質因數378000=2^4×3^3×5^3×7^1由約數個數定理可知378000共有正約數(4+1)×(3+1)×(3+1)×(1+1)=160個。