公約數

公約數

公約數,亦稱“公因數”。它是一個能被若干個整數同時均整除的整數。如果一個整數同時是幾個整數的約數,稱這個整數為它們的“公約數”;公約數中最大的稱為最大公約數。對任意的若干個正整數,1總是它們的公因數。

基本介紹

  • 中文名:公約數
  • 外文名:common divisor
  • 別稱:公因數
  • 含義:它是幾個整數同時均能整除整數
  • 相關技巧:倍數關係
  • 相關套路:輾轉相除法/更相減損術
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簡介

公約數,亦稱“公因數”。它是一個能被若干個整數同時均整除的整數。如果一個整數同時是幾個整數的約數,稱這個整數為它們的“公約數”;公約數中最大的稱為最大公約數。對任意的若干個正整數,1總是它們的公因數。
公約數與公倍數相反,就是既是A的約數同時也是B的約數的數,12和15的公約數有1,3,最大公約數就是3。再舉個例子,30和40,它們的公約數有1,2,5,10,最大公約數是10

求解方法

求兩個數最大公約數的方法
倍數關係
若較大數是較小數的倍數,那么較小數就是這兩個數的最大公約數。
互質關係
若這兩個數是互質數,那么它們的最大公約數就是1。

最大公約數

概念

如果數a能被數b整除,a就叫做b的倍數,b就叫做a的約數。約數和倍數都表示一個整數與另一個整數的關係,不能單獨存在。如只能說16是某數的倍數,2是某數的約數,而不能孤立地說16是倍數,2是約數。
"倍"與"倍數"是不同的兩個概念,"倍"是指兩個數相除的商,它可以是整數、小數或者分數。"倍數"只是在數的整除的範圍內,相對於"約數"而言的一個數字的概念,表示的是能被某一個自然數整除的數。
幾個整數,公有的約數,叫做這幾個數的公約數;其中最大的一個,叫做這幾個數的最大公約數。例如:12、16的公約數有1、2、4,其中最大的一個是4,4是12與16的最大公約數,一般記為(12,16)=4。12、15、18的最大公約數是3,記為(12,15,18)=3。
幾個自然數公有的倍數,叫做這幾個數的公倍數,其中最小的一個自然數,叫做這幾個數的最低公倍數。例如:4的倍數有4、8、12、16,……,6的倍數有6、12、18、24,……,4和6的公倍數有12、24,……,其中最小的是12,一般記為[4,6]=12。12、15、18的最低公倍數是180。記為[12,15,18]=180。若干個互質數的最低公倍數為它們的乘積的絕對值。

求法

質因數分解法
把幾個數先分別分解質因數,再把各數中的全部公有的質因數和獨有的質因數提取出來連乘,所得的積就是這幾個數的最低公倍數
例如:求6和15的最低公倍數。先分解質因數,得6=2×3,15=3×5,6和15的全部公有的質因數是3,6獨有質因數是2,15獨有的質因數是5,2×3×5=30,30裡面包含6的全部質因數2和3,還包含了15的全部質因數3和5,且30是6和15的公倍數中最小的一個,所以[6,15]=30。
短除法
短除法:短除法求最大公約數,先用這幾個數的公約數連續去除,一直除到所有的商互質為止,然後把所有的除數連乘起來,所得的積就是這幾個數的最大公約數。短除法的本質就是質因數分解法,只是將質因數分解用短除符號來進行。
短除符號就是除號倒過來。短除就是在除法中寫除數的地方寫兩個數共有的質因數,然後落下兩個數被公有質因數整除的商,之後再除,以此類推,直到結果互質為止(兩個數互質)。
而在用短除計算多個數時,對其中任意兩個數存在的因數都要算出,其它沒有這個因數的數則原樣落下。直到剩下每兩個都是互質關係。求最大公因數便乘一邊,求最低公倍數便乘一圈。無論是短除法,還是分解質因數法,在質因數較大時,都會覺得困難。這時就需要用新的方法。

輾轉相除法

輾轉相除法:輾轉相除法是求兩個自然數的最大公約數的一種方法,也叫歐幾里德算法
這就是輾轉相除法的原理。
例如,求(319,377):
∵ 319÷377=0(餘319)
∴(319,377)=(377,319);
∵ 377÷319=1(餘58)
∴(377,319)=(319,58);
∵ 319÷58=5(餘29)
∴ (319,58)=(58,29);
∵ 58÷29=2(餘0)
∴ (58,29)= 29;
∴ (319,377)=29。
可以寫成右邊的格式。
用輾轉相除法求幾個數的最大公約數,可以先求出其中任意兩個數的最大公約數,再求這個最大公約數與第三個數的最大公約數,依次求下去,直到最後一個數為止。最後所得的那個最大公約數,就是所有這些數的最大公約數。

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