橢圓面積公式：S=π(圓周率)×a×b，其中a、b分別是橢圓的半長軸，半短軸的長。橢圓面積公式屬於幾何數學領域。
基本介紹
- 中文名：橢圓面積公式
- 表達式：S=π×a×b
- 套用學科：數學
- 適用領域範圍：幾何數學領域
面積公式,定理內容,導數方法,陰影面積,周長公式,周長算法,
面積公式
S=π(圓周率)×a×b(其中a,b分別是橢圓的半長軸,半短軸的長).或S=π(圓周率)×A×B/4(其中A,B分別是橢圓的長軸，短軸的長).
c1c2clone可以依據關於圓的有關公式，類比出關於橢圓公式.
定理內容
如果一條固定直線被甲乙兩個封閉圖形所截得的線段比都為k，那么甲面積是乙面積的k倍。
那么x^2/a^2+y^2/b^2=1 （a>b>0）的面積為π * a^2 * b/a=πab
因為兩軸焦點在0點，所以橢圓的面積可以分為4個相等的部分，分別是+x+y、-x+y、-x-y、+x-y四個區域，所以只要求出一個象限間所夾的面積，然後再乘以4就可以得到整個橢圓的面積。揀最簡單的來吧，先求第一象限所夾部分的面積。 根據定積分的定義及圖形的性質，我們可以把這部分圖形無限分為底邊在x軸上的小矩形，整個圖形的面積就等於這些小矩形面積和的極限。現在套用元素法，在圖 形中任找取一點，然後再取距這點距離無限近的另一個點，這兩點間的距離記做dx，然後取以dx為底邊，兩點分別對應的y為高，與曲線相交夠成的封閉的小矩 形的面積s，顯然，s=y*dx 現在求s的定積分，即大圖形的面積S，S=∫[0:a]ydx 意思是求0 到 a上y關於x的定積分 步驟：（第一象限全取正，後面不做說明） S=∫[0:a]ydx=∫[0:a]|sqr(b^2-b^2*x^2/a^2)|dx 設 x^2/a^2=sin^2t 則 ∫[0:a]|sqr(b^2-b^2*x^2/a^2)|dx=∫[0:pi/2]b*cost d(a*sint) pi=圓周率 ∫[0:pi/2]b*cost d(a*sint)=∫[0:pi/2]b*a*cos^2t dt cos^2t=1-sin^2t ∫[0:pi/2]b*a*cos^2t dt =[a*b*t](0:pi/2)-∫[0:pi/2]b*a*sin^2t dt 這裡需要用到一個公式：∫[0:pi/2]f(sinx)dx=∫[0:pi/2]f(cosx)dx 證明如下 sinx=cos(pi/2-x) 設u=pi/2-x 則 ∫[0:pi/2]f(sinx)dx=∫[pi/2:0]f(cosu)d(pi/2-u)= -∫[0:pi/2]f(sinu)d(pi/2-u)=∫[0:pi/2]f(sinu)du=∫[0:pi/2]f(sinx)dx 則∫[0:pi/2]b*a*cos^2t dt =[a*b*t](0:pi/2)-∫[0:pi/2]b*a*sin^2t dt=a*b*（pi/2）-∫[0:pi/2]b*a*cos^2t dt 那么 2*∫[0:pi/2]b*a*cos^2t dt=a*b*（pi/2) 則S=a*b*(pi/4) 橢圓面積S_c=a*b*pi 可見橢圓面積與坐標無關，所以無論橢圓位於坐標系的哪個位置，其面積都等於半長軸長乘以半短軸長乘以圓周率
導數方法
設橢圓x^2/a^2+y^2/b^2=1
取第一象限內面積 有 y^2=b^2-b^2/a^2*x^2
即 y=√（b^2-b^2/a^2*x^2)
=b/a*√(a^2-x^2)
由於該式反導數為所求面積，觀察到原式為圓方程公式*a/b，根據(af(x))'=a*f'(x),且x=a時圓面積為a^2π/4
可得 當x=a時，1/4S=b/a*1/4*a^2*π=abπ/4
即S=abπ。
此方法比較容易理解。
陰影面積
眾所周知，斜切圓柱所得截面即為橢圓，這在高中數學圓錐曲線一章有闡述，下面就用陰影面積法巧妙求解橢圓面積。圓形面積與橢圓面積之比為cosθ，則cosθ=πR^2/S=2R/2a，橢圓短軸b即為圓柱底面半徑R,即R=b，所以S=πR^2*a/R=πaR=πab
周長公式
橢圓周長沒有公式，有積分式或無限項展開式。
橢圓周長(L)的精確計算要用到積分或無窮級數的求和。如
L = ∫[0,π/2]4a * sqrt(1-(e*cost)^2)dt≈2π√((a^2+b^2)/2) [橢圓近似周長], 其中a為橢圓長半軸，e為離心率
橢圓離心率的定義為橢圓上的點到某焦點的距離和該點到該焦點對應的準線的距離之比，設橢圓上點P到某焦點距離為PF，到對應準線距離為PL，則
e=PF/PL
橢圓的準線方程
x=±a^2/C
橢圓的離心率公式
e=c/a(e<1,因為2a>2c)
橢圓的焦準距 ：橢圓的焦點與其相應準線(如焦點（c,0）與準線x=+a^2/C)的距離，數值=b^2/c
橢圓焦半徑公式 |PF1|=a+ex0 |PF2|=a-ex0
橢圓過右焦點的半徑r=a-ex
過左焦點的半徑r=a+ex
橢圓的通徑：過焦點的垂直於x軸（或y軸）的直線與橢圓的兩交點A,B之間的距離，數值=2b^2/a
點與橢圓位置關係 點M（x0，y0） 橢圓 x^2/a^2+y^2/b^2=1
點在圓內： x0^2/a^2+y0^2/b^2<1
點在圓上： x0^2/a^2+y0^2/b^2=1
點在圓外： x0^2/a^2+y0^2/b^2>1
直線與橢圓位置關係
y=kx+m ①
x^2/a^2+y^2/b^2=1 ②
由①②可推出x^2/a^2+（kx+m）^2/b^2=1
相切△=0
相離△<0無交點
相交△>0 可利用弦長公式：A(x1,y1) B(x2,y2)
|AB|=d = √(1+k^2)|x1-x2| = √(1+k^2)(x1-x2)^2 = √(1+1/k^2)|y1-y2| = √(1+1/k^2)(y1-y2)^2
橢圓的斜率公式 過橢圓上x^2/a^2+y^2/b^2=1上一點（x，y）的切線斜率為 -(b^2)X/(a^2)y
橢圓上的點（x，y）與兩焦點圍成的三角形面積 S=b^2*tan(α/2) α為點(x，y)與兩焦點連線的夾角
周長算法
一、
L1 = π · qn / atan(n)
(b→a，q=a+b，n=((a-b)/a))^2
這是根據圓周長和割圓術原理推導的，精度一般。
二、
L2 = π · θ/(π/4) · (a - c + c/sinθ)
(b→0，c=√(a^2-b^2)，θ=acos((a-b)/a)^1.1)
這是根據兩對扇形組成橢圓得特點推導的，精度一般。
三、
L3 = π · q(1 + mn)
(q=a+b，m=4/π-1，n=((a-b)/a)^3.3)
這是根據圓周長公式推導的，精度一般。
四、
L4 = π · √(2a^2 + 2b^2) · (1 + mn)
(m=2√(2/π)-1，n=((a-b)/a)^2.05)
這是根據橢圓a=b時得基本特點推導的，精度一般。
五、
L5 = √(4ab·π^2 + 15(a-b)^2) · (1 + mn)
( m=4/√(15)-1 ，n=((a-b)/a)^9 )
這是根據橢圓a=b，b=0時是特點推導的，精度較好。
六、
L6 = π · q(1 + 3h/(10 + √(4-3h)) · (1 + mn)
( q=a+b，h=((a-b)/(a+b))^2， m=22/7π-1，n=((a-b)/a)^33.697)
這是根據橢圓標準公式提煉的，精度很高。
