機率流

在量子力學里，機率流，又稱為機率通量，是描述機率密度流動的物理量。假若將機率密度想像為非均勻流體。那么，機率流就是這流體的流率（機率密度乘以速度）。

基本介紹

• 中文名：機率流
• 外文名：Probability flow
• 別名：機率通量
• 定義：描述機率密度流動的物理量
• 學科：量子力學
• 領域：量子力學
• 類型：描述機率密度流動的物理量

定義

在量子力學里，從機率守恆可以得到“機率連續性方程”。設定一個量子系統的波函式為 。定義機率流 為

其中， 是約化普朗克常數，m是質量，是是共軛複數，是取括弧內項目的復值。

機率保守定律

機率流滿足量子力學的連續方程：

其中，是機率密度。

套用高斯公式，等價地以積分方程表示，

；(1)

其中，V是任意三維區域，S 是V的邊界曲面。這就是量子力學機率守恆定律的方程。

方程 (1) 左邊第一個體積積分項目（不包括對於時間的偏微分），即是測量粒子位置時，粒子在V內的機率。第二個曲面積分是機率流出V的通量。總之，方程 (1) 表明，粒子在三維區域V內的機率對於時間的微分，加上機率流出三維區域V的通量，兩者的總和等於零。

連續方程導引

測量粒子在三維區域V內的機率P是

機率對於時間的導數是

；(2)

假設的含時薛丁格方程為

其中，是位勢。

將含時薛丁格方程代入方程 (2) ，可以得到

套用一則矢量恆等式，可以得到

這方程右手邊第一個項目與第三個項目互相抵銷，將抵銷後的方程代入，

將機率密度方程與機率流定義式代入，

這相等式對於任意三維區域V都成立，所以，被積項目在任何位置都必須等於零：

範例

平面波

設定一個粒子的波函式為三維空間的平面波，

其中，A 是振幅常數，k是波數，r是位置，是角頻率，t是時間。

的機率流是

這只是振幅的平方乘以粒子的速度。

請注意，雖然這平面波是定態，在每一個的地點，，但是機率流仍舊不等於0。因此可以推論，雖然機率密度不顯性地跟時間有關，粒子仍可能移動於空間中。

盒中粒子

思考一維盒中粒子問題，能級為的本徵波函式是

其中，L是一維盒子的寬度，兩扇盒壁的位置分別在x=0與 x=L 。

由於，其機率流為

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