樣條擬合

在實際問題中，經常要根據觀測得到的一些數據，也就是平面上的一些離散點，繪製出一條近似曲線，這些離散點稱為控制點。如果要求曲線通過所有控制點，則問題稱插值問題，如果要求曲線不一定通過所有控制點，而是以某種方式逼近這些點，則問題稱為擬合問題。構造擬合曲線，除了最小二乘法以外，實際中還經常用分段擬合的方法，就是在每一段內，用低次多項式作為該段的擬合曲線，而且這些分段多項式曲線在分界點還具有一定的光滑性，這就是所謂的樣條擬合。樣條一詞來源於工程實際，是指技術工人放樣時使用的一種工具——具有良好彈性的細長木條，藉助樣條就可根據給定的控制點繪出光滑的曲線。

基本介紹

• 中文名：樣條擬合
• 外文名：spline fit
• 所屬領域：數學
• 定義：給定點集來生成平滑曲線的柔性帶
• 種類舉例：B樣條擬合
• 作用：構造擬合曲線

套用

圓弧擬合的光滑性比線性擬合有了提高，但它在型值點的曲率還是有間斷的，也就是說，整條曲線的二階導數是不連續的，在實際問題中，我們往往需要一種具有連續的一階導數和連續的二階導數的擬合曲線，對予這種問題普通採用的是樣條擬合方法，三次樣條曲線(以下簡稱樣條曲線)是工人師傅在放樣時用彈性樣條(最常用的是細長木條，它的橫向截口一般是矩形，造船廠里就稱這種木條為樣條，它的作用相當於“萬能曲線板”)來畫曲線的數學抽象,根據材料力學對小撓度梁的分析，可以得到所謂樣條曲線．它在兩個型值點之間都是某種三次代數曲線(以下簡稱三次曲線)，而且在各型值點上有連續的一階導數和二階導數。

樣條擬合舉例

B－樣條

B-樣條函式的研究最早開始於十九世紀，當時N.Lobachevsky把B-樣條作為某些機率分布的卷積。在1946年，I.J.schoenberg利用B-樣條進行統計數據的光滑化處理，他的論文開創了樣條逼近的現代理論。隨後， CdeBoor，M.Cox和LMansfiekl發現了B-樣條的遞推關係。B-樣條曲線的最初定義是基於差商，這種定義方法包含了複雜的數學公式，而且所得結果在數值上不穩定。 DeBoor與Hollig套用B-樣條的遞推關係作為出發點定義B-樣條，這是一種完全不同於差商方法的定義公式。B-樣條根據節點的不同又分為均勻B-樣條基函式，周期B-樣條基函式等類型。

三次樣條

通常重要的描述粒子間相互作用的函式，如分子動力學的原子嵌入勢函式或者第一性原理中的電子交換關聯勢函式等．都是將給定格線上的數值存儲在相應檔案中，而非直接調用連續的解析函式。因此，利用這些數值點構建行為良好的、與原函式近似相等的插值函式對最終的結果具有重要的意義。實踐表明，三次樣條函式可以方便地滿足上述要求，因此在實際工作中得到了廣泛的套用。三次樣條函式要求在各個節點(插值點)處函式值、一階導數值、二階導數值連續。這個要求同時具有明顯的幾何與力學意義。從幾何角度而言，最高到二階導數連續的函式在各節點上光滑且對稱地連續，即在節點處左右微小範圍內該樣條函式是一段圓弧，曲率半徑相等。因為細梁(樣條函式)的彎矩與曲率成正比，因此在力學意義上，三次樣條函式等價於將彈性桿壓在各節點處自然彎曲所得到的結果。

樣條擬合函式

在數學學科數值分析中，樣條是一種特殊的函式，由多項式分段定義。樣條的英語單詞spline來源於可變形的樣條工具，那是一種在造船和工程製圖時用來畫出光滑形狀的工具。在中國大陸，早期曾經被稱做“齒函式”。後來因為工程學術語中“放樣”一詞而得名。

在插值問題中，樣條插值通常比多項式插值好用。用低階的樣條插值能產生和高階的多項式插值類似的效果，並且可以避免被稱為龍格現象的數值不穩定的出現。並且低階的樣條插值還具有“保凸”的重要性質。

在計算機科學的計算機輔助設計和計算機圖形學中，樣條通常是指分段定義的多項式參數曲線。由於樣條構造簡單，使用方便，擬合準確，並能近似曲線擬合和互動式曲線設計中複雜的形狀，樣條是這些領域中曲線的常用表示方法。