通過模奇素數P= k*d+1的k次剩餘(真k次剩餘),定義了模P下的d次單位根U(d),
從模P= k*d+1的k次剩餘的角度上看,則k次剩餘系中元素的個數,是隨著P值的變化而變化的,因而無法統一地把握.
而從模P= k*d+1下的d單位根的角度上來看,只要d值固定,則U(d)中的元素個數,必定是d.儘管這時的k值可以任意變化,但只要k和d生成的整數P=k*d+1是奇素數即可.
在其中考察了滿足加法生成式1+x=y的鄰居數對(x,y).採用”倒軋”法-逆向使用模余性質並結合多項式的輾轉相除法結果中的非零常數值的素因數分解,由單位根的代換式的遍歷性質,得出結論:當GCD(6,d)6時,滿足在U(d)存在鄰居數對的奇素數P,只有有限多個.
基本介紹
- 中文名：模P的d次單位根
- 外文名：d-th unity roots of modul P
設有奇素數P=k*d+1，則模P的非負完全剩餘最小系可表示成I(P)={0,1，2，3，……,P-1}有P個元素, I(P)在加法運算”+”下封閉;在剔除0元素後記為U(P-1)= I(P)-{0}={1,2,3,……,P-1}有P-1個元素,則U(P-1)在乘法運算*下封閉,成群,是(有限循環)群.
考察P-1的素因子分解,若d是P-1的因數,即d|(P-1)時,對於這樣的d,一定存在U(P-1)的(乘法)子集U(d)={ j |j^d=1mod P }.不妨稱其為模P的d次單位根.不難驗證,這樣的子集U(d)恰有d個元素.
當d|(P-1)且d,即U(d)是的真子集時(後文將保持關於U(d)的這個設定),U(d)對於I(P)的加法+和乘法*這兩種運算的繼承,有非常不同的表現.
熟知, U(d)對於乘法運算*是非常自然地照搬,即當a,b是U(d)的元素時,有 a*b也是U(d)的元素.
但U(d)中的加法運算+不再封閉, 即當a,b是U(d)的元素時,幾乎不再有 a+b=c是U(d)元素,即(a+b)幾乎不再是U(d)的元素.雖然,加法運算不再具備普遍的存在性,但是,對於特定的模P下的某些d次單位根組成的U(d),卻又能夠找出一些加法算式,當a,b,cU(d)時,有加法算式a+b=c的成立.
所設定的奇素數P=k*d+1,模P的d次單位根U(d),實則就是模P的k次剩餘,數論文獻對於此的論述,都注重於乘法運算下的性質,對於加法運算,由於其不封閉,所以基本上沒有關注.
從模P= k*d+1的k次剩餘的角度上看,則k次剩餘系中元素的個數,是隨著P值的變化而變化的,因而無法統一地把握.
而從模P= k*d+1下的d單位根的角度上來看,只要d值固定,則U(d)中的元素個數,必定是d.儘管這時的k值可以任意變化,但只要k和d生成的整數P=k*d+1是奇素數即可.
