極小多項式

在抽象代數中，一個域上的代數元α之極小多項式（或最小多項式）是滿足P(α)=0的最低次首一多項式(多項式內最高次項之係數為1) P。此概念對線性代數與代數擴張的研究極有助益。

基本介紹

• 中文名：極小多項式
• 外文名：Minimal polynomial (linear algebra)
• 領域：數學

簡介

在抽象代數中，一個域上的代數元 之極小多項式（或最小多項式）是滿足 的最低次首一多項式(多項式內最高次項之係數為1) 。此概念對線性代數與代數擴張的研究極有助益。

形式定義

設為一個域，為有限維-代數。對任一元素，集合張出有限維向量空間，所以存在非平凡的線性關係 ：

可以假設，此時多項式滿足。根據多項式環里的除法，可知這類多項式中只有一個次數最小者，稱之為的極小多項式。

由此可導出極小多項式的次數等於，而且可逆若且唯若其極小多項式之常數項非零，此時可以表成的多項式。

矩陣的極小多項式

考慮所有矩陣構成的-代數，由於，此時可定義一個矩陣之極小多項式，而且其次數至多為；事實上，根據凱萊-哈密頓定理，可知其次數至多為，且其根屬於該矩陣的特徵值集。

極小多項式是矩陣分類理論（若爾當標準型、有理標準形）的關鍵。

極小多項式與代數擴張

設為的有限擴張，此時可視為有限維-代數。根據域的性質，極小多項式必為素多項式。元素的跡數及範數等不變數可以從極小多項式的係數讀出。

參見

• 伽羅瓦擴張