基本介紹
- 中文名：楊-米爾斯存在性與質量間隙
- 外文名：Yang-Mills Existence and Mass Gap
- 提出者：美國克萊數學院
- 提出時間：2000年
- 套用學科：數學
- 適用領域範圍：微積分
簡介,背景,
簡介
該難題是2000年美國克萊數學院以100萬美元懸賞的七道難題之一，至今無滿意答案。
先來看一下關於楊——米爾斯方程的介紹。楊一米爾斯方程(Yang-Mills equation)是一個重要的微分方程，指楊一米爾斯作用量所確定的歐拉一拉格朗日方程。
楊氏理論是基於SU(N)組的一種規範理論，或者更普遍地說，是一個緊湊、半簡單的李群。楊振寧，米爾斯理論旨在描述基本粒子的行為使用這些非阿貝爾李群和統一的核心的電磁和弱力(即U(1)×SU(2))以及量子色動力學理論的強力(基於SU(3))。從而形成了我們對粒子物理標準模型理解的基礎。
楊—米爾斯方程研究的大概歷史是這樣的：關於楊—米爾斯規範場，還必須從電磁場說起。大家都知道，磁鐵能吸引鐵屑。這是因為在磁鐵和鐵屑之間存有磁場。光也是電磁場，不過它是波動式的，而上面所說的則是靜態式的。
楊—米爾斯場便是電磁場的推廣。它是非線性的，這點跟愛因斯坦的場方程一樣，都是非線性偏微方程。楊振寧和米爾斯在 1954 年的貢獻便是引申了規範場而用之於基本粒子的相互作用，由此產生出將強力和弱力統一的想法。
但最早規範場的概念可追溯於麥克斯韋方程。可是從對稱為出發點的看法是由德國數學和理論物理學家外爾【 H. Weyl 】提出來。愛氏在 1915 年的廣義相對論把引力和時空幾何聯繫在一起後，他和許多物理學家都想把電磁場幾何化，因而進一步把引力場和電磁場統一在一起。
外爾便是朝此方向研究。他引進了相位變換的概念，產生規範場的存在。從對稱觀點出發，立足於規範不變，規範場便很自然的出現。
簡單的說，如果在任何時空點，我們容許相位變換是遵循對稱性的變換，那這些無數不同時空點的相位變換必須聯繫在一起，這工作必須有場來執行，這便是所謂的規範場。
楊振寧在 1950 年前後對規範不變原理有深刻的理解，很明確地了解規範場在量子物理學科的重要性。外爾的規範場是電磁場，是基於可對易的 U (1) 對稱群的。
在當時關於質子和中子的強力作用，海森堡已提出不可對易的 SU (2) 群為適合的對稱群。楊振寧了解到其重要性，花了約四年的時間推廣出 SU (2) 規範場。也就是1954的年時候給出了楊—米爾斯理論。
楊—米爾斯方程場方程是非線性的，是線性的麥克斯韋方程的推廣。麥克斯韋方程包含了所有的電磁學。從麥克斯韋方程（1860）到楊—米爾斯方程（1954），前後是94年時間。
楊振寧在規範場論方面有深切的悟解，把局域規範不變性原理髮揮得淋漓盡致，作了不朽的貢獻。僅僅過了2年，楊振寧和李政道又提出宇稱不守恆定律。並且經過吳健雄驗證是正確的。因而獲得諾貝爾獎。
不過楊——米爾斯理論並沒得諾貝爾獎，這點比較遺憾。因為楊——米爾斯理論與實驗是高度吻合的。為什麼沒有獲獎，這個就不太清楚了。
不過愛氏也沒有因為相對論而獲獎，但相對論也於實驗很吻合。這樣對比考慮的話，也可以理解楊為何沒有因此獲獎。不過時代不一樣了。愛氏在世的時候，廣義相對論的很多實驗是做不出來的。引力波就是其預言的，但最近2年才被證實。
其實一開始楊——米爾斯理論並沒有受到重視。即1954年初，楊振寧和羅伯特·米爾斯將量子電動力學的概念推廣到非阿貝爾規範群，將原本可交換群的規範理論（套用的量子電動力學）拓展到不可交換群,以解釋強相互作用。楊-米爾斯的觀點受到了泡利的批評，其原因在於楊-米爾斯理論的量子必須質量為零以維持規範不變性。如果其作用粒子質量為零,則其作用是長程作用力。然而實驗上沒有觀察到長程力的的作用。
直到1960年，當時由戈德斯通【effrey Goldstone】、南部【Yoichiro Nambu】和喬瓦尼·喬納-拉希尼歐【Giovanni jona - lasinio】等人開始運用對稱性破缺的機制,從零質量粒子的理論中去得到帶質量的粒子,楊-米爾斯理論的重要性才顯現出來。
這促使了楊米爾斯理論研究的火熱，證明了這兩種理論都成功地套用了電弱統一和量子色動力學(QCD)。統一的標準模型結合了強相互作用和電弱相互作用(統一弱者和電磁相互作用)通過對稱群SU(2)×U(1)×SU(3)。
接下來大家看一下楊—米爾斯方程吧。如下圖。
看了之後，什麼感覺？和我一樣的人，肯定像看天書一樣。再給大家上一個愛氏的場方程。大家對比感覺一下。
可以毫不誇張的說，這就是人類的驕傲。比如很多網友會問人和動物的區別在哪裡？下次誰再問你的時候，你就說：“人類有愛氏和楊—米爾斯方程，動物有嗎？”這背後的深意就是不同。
接下來我整理了一個關於場方程的內容。由於電腦無法書寫。我寫在紙上，拍照給大家。
真的很難想像，楊振寧和米爾斯是如何推導出這個方程的。我們理解都如此困難。我希望更多的專業人士，為我們詳細的解釋這樣的方程。當然我相信楊振寧本人理解也同樣困難。我這樣說，是因為我的觀點是人和人的區別真的不大。但和境遇，所學知識，成長經歷是極其相關的。
楊——米爾斯理論得到的最重要結果之一是漸近自由。該結果可以通過假設耦合常數g小(小非線性)，高能量和套用攝動理論得到。這一結果的相關性在於，一種描述強相互作用和漸近自由的秧子理論可以適當地處理來自深層非彈性散射的實驗結果。
為了證明其漸近自由，一個套用攝動理論假設一個小耦合。這是在紫外線極限下驗證的後驗。在相反的極限情況下，紅外極限，情況則相反，因為耦合太大，擾動理論難以可靠。大多數研究遇到的困難都是在低能量下管理理論。這是一種有趣的情況，是對強子物質的描述，更普遍地，對所有觀察到的膠子和夸克的束縛態和它們的約束，都可以用這個理論來描述。
研究這個極限理論的最常用方法是試著在計算機上解決它。在這種情況下，需要大量的計算資源來確定無限體積(小格間距)的正確極限。愛氏場方程的解，也需要用到計算機模擬。所以我們完全可以產生一個疑問：“愛氏場方程和楊——米爾斯場方程的橋樑是什麼？”
為了理解理論在大、小動量下的行為，一個關鍵的量是傳播器。對於一個秧苗理論，我們必須同時考慮膠子和虛傳播器。在大動量(紫外線極限)下，這個問題完全解決了漸近自由的發現。在這種情況下，可以看出該理論是自由的，而且膠子和虛傳播器都是自由無質量的粒子。理論的漸近狀態由帶有相互作用的無質量膠子表示。
在低動量(紅外極限)，這個問題更需要解決。其原因是該理論在這種情況下具有很強的耦合性，不能套用攝動理論。唯一可靠的方法是在一台足夠大的計算機上執行格子計算。對這個問題的回答是一個基本的問題，因為它將提供對監禁問題的理解。另一方面，我們不應該忘記，傳播者是一種依賴於度量的量，因此，當一個人想要得到有意義的物理結果時，他們必須謹慎管理。
Gribov發現了一個關於在揚-米爾斯理論中進行測量的問題:他表明，即使一個測量值是固定的，自由也被保留了。此外，他還能在朗道量表中為膠子傳播者提供一種功能形式。
這種傳播器不能以這種方式正確，因為它將違反因果關係。另一方面，它提供了線性上升的潛力，這將給夸克約束提供理由。這個函式形式的一個重要方面是，膠子傳播器在動量為零的情況下趨於零。這將成為接下來的一個關鍵點。
在Gribov的這些研究中，Zwanziger擴展了他的方法。不可避免的結論是，膠子的傳播器應該在瞬間達到零，而在空閒的情況下，幽靈傳播器應該增強。當這個場景被提出時，計算資源不足以決定它是否正確。相反，人們採用了不同的方法，使用了鏑- schwinger方程。這是一組n點函式的耦合方程，它構成了一個層次結構。這意味著n點函式的方程將依賴於(n + 1)-點函式。為了解決它們，我們需要一個適當的截斷。在另一方面，這些方程可以允許在任何狀態下獲得n點函式的行為。
關於數學，應該注意到，在2016年，楊-米爾斯理論是一個非常活躍的研究領域，在西蒙·唐納森的作品中，在四維的流形上具有可微結構的不變性。此外，在陶氏數學研究所的“千年獎問題”列表中，也包括了秧歌理論。這裡的獎項問題在於，尤其在一個猜想的證明中，一個純粹的楊-米爾斯理論(即沒有物質場)的最低興奮度與真空狀態有一個有限的質量差距。另一個與這個猜想有關的開放問題，是在額外的費米子粒子的存在下被限制的性質的證明。
在物理上，對秧歌理論的研究通常不從攝動分析或分析方法開始，而是從系統地套用數值方法到格點理論。
總之大家這樣去理解，楊——米爾斯方程是一個很重要的方程，現在量子力學能夠統一除引力之外的三種力，都有楊——米爾斯理論的幫助。尤其是後來發展起來的對稱破缺，漸進自由，希格斯機制理論。
再者要知道，這個場方程是一個非線性波動方程。而關於楊——米爾斯規範場我們的了解其實不多，也不夠形象和明確化。對於接楊——米爾斯方程的解，更是很難的。
關於方程的解上面表述了那么多，大家也知道了。一般藉助電腦通過假設數值和情形來做處理的。
千禧計畫中就有關於楊——米爾斯理論的問題，解開了問題，獎金100萬美金。就說明了，這個理論還有很大的發展空間，和完善空間。
上面的描述，肯定有不妥之處，望大家指出。
生命在於運動，更在於探索。去試著理解生活，去試著理解我們賴以生存的世界。
摘自獨立學者量子力學科普書籍《見微知著》
背景
我們所知多數非凡即有相互作用的4維皆有有效場論，因而多數beta-函式是正的，然而有不交換的結構群：量子楊振寧-米爾斯（無夸克）例外，它有一種性質被稱為漸進自由，指他有一個單純的紫外定點，因此，我們可以寄望他成為非凡的思維量子場模型。
