格林運算元

格林運算元(Green's operator)是微分p形式空間到調和p形式空間的直交補的一個映射。設G：E^p(M)→(H^p)^⊥，ᗄα∈E^p(M)，G(α)是方程Δω=α-H(α)在(H^p)^⊥中的惟一解，其中H：E^p(M)→H^p是一個投影運算元，就稱G為一個格林運算元。

基本介紹

• 中文名：格林運算元
• 外文名：Green's operator
• 所屬學科：數學
• 所屬領域：偏微分方程

定義

格林運算元(Green's operator)是微分p形式空間到調和p形式空間的直交補的一個映射。設是方程在中的惟一解，其中是一個投影運算元，就稱為一個格林運算元。

格林運算元的性質

運算元G的性質：

1.G是一個有界自伴隨線性運算元；

2.把有界序列變成有柯西子序列的序列；

3.凡與拉普拉斯運算元Δ交換的線性運算元均與G交換。

利用格林運算元易得到：

1.在定向緊黎曼流形M上，每個德拉姆上調和類包含了惟一的調和形式；

2.定向緊微分流形的德拉姆上同調群都是有限維的。

相關解釋

格林運算元(Green operator)即二階橢圓運算元的逆運算元，考慮二階橢圓型方程

在Ω內的第一、第三邊值問題，其中Ω是Rⁿ中的有界域，其邊界∂Ω由有限個光滑超曲面構成。運算元A的定義域對第一邊值問題為，對第三邊界條件為

如果A為到的一一映射，則稱其逆運算元(記為G)為相應邊值問題的格林運算元。一般地不一定存在，但當t充分大時，

是存在的。設λ為復參數，對於方程，用從左作用得到。反之，若把此方程看做中的方程，是它的一個解，則顯然有，且u(x)是原偏微分方程的解並滿足邊界條件，在上述方程中是上的緊運算元，因此可利用里斯-紹德爾理論，特別地，當t+λ不是的特徵值時，

就是原問題的惟一解。

高階橢圓型方程的格林運算元

高階橢圓運算元的格林運算元（Green operator of higher order elliptic equation）的構造，對於高階橢圓型方程的一般邊值問題

其中m是運算元A的階(偶數)，邊界運算元應滿足兩個條件：

1.在∂Ω的一切點x處，∂Ω的法線方向不是任何的特徵方向；

2.的階並且；

A的定義域是

當A是到上的一一映射時，稱為上述問題的格林運算元。如果A與x無關，且設Γ(x)是它的基本解，即

一般地，原邊值問題的格林函式可如下構造：令， 而由兩個條件確定：

1.對，

2.對，