根心定理

根心定理

根心定理:三個兩兩不同心的,形成三條根,則必有下列三種情況之一:

(1) 三根軸兩兩平行;

(2) 三根軸完全重合;

(3) 三根軸兩兩相交,此時三根軸必匯於一點,該點稱為三圓的根心。

該定理是平面幾何上非常重要的定理

基本介紹

  • 中文名:根心定理
  • 外文名:Root heart theorem
  • 別稱:蒙日定理
  • 套用學科:數學
  • 適用領域範圍:平面幾何
定義,點對圓的冪,根軸,區別,相關例題,

定義

點對圓的冪

平面上任意一點
對圓
的冪定義為以下函式:
考慮到圓的方程也可以寫為圓心-半徑的形式:
由此也可以把點對圓的冪定義為:
這裡
是點
到圓心
的距離,
是圓的半徑。
點對圓的冪的幾何意義是明顯的:
若點在圓外,則冪為點到圓的切線長度的平方;
若點在圓上,則冪為0;
若點在圓內,則冪為負數,其絕對值等於過點
且垂直於
的弦長的一半的平方。

根軸

平面上兩不同心的圓
顯然,對兩圓等冪的點集是直線:
該直線稱為兩圓的根軸。根軸必垂直於兩圓的連心線。
若兩圓相交,則根軸就是連線二公共點的直線;
若兩圓相切,則根軸就是過切點的公切線;
若兩圓相離或內含,則根軸完全位於兩圓之外,但仍垂直於兩圓的連心線。
當圓1和圓2相離或內含時,用尺規作出這兩的根軸需要依賴“根心定理”(見第三部分)。具體的做法是:另作一個適當的圓3與前兩圓都相交,圓3分別與前兩圓形成根軸,這兩條根軸的交點即是圓1、圓2和圓3的根心,它必定在圓1和圓2所形成的根軸上;同理,再找一個適當的圓4,找到圓1、圓2和圓4的根心。連線所找到的兩個根心,即得到圓1和圓2的根軸。

區別

根心與根心定理(解析幾何證法)
三個兩兩不同心的圓
任意兩圓形成一條根軸,因而共有三條根軸:
這三條根軸的直線方程(以下簡稱為根軸方程)是線性相關的,即由其中兩個根軸方程進行線性組合,可以得出第三個根軸方程。因此:
(i)若平面上某一點是其中兩個根軸方程的公共解(亦即兩根軸的公共點),則必定也是第三條根軸上的點。
(ii)若某兩個根軸方程無公共解(即平行),則三個根軸方程中的任意兩個均無公共解(即三條根軸兩兩平行)。
具體而言,三個兩兩不同心的圓的根軸,僅僅包含下面三種情況:
(1)三根軸兩兩平行;
(2)三根軸完全重合;
(3)三根軸兩兩相交,此時三根軸必匯於一點,該點稱為三圓的根心
上面所證明的即是“根心定理”。
以上用解析幾何的方法證明了根心定理。在平面上,二元方程對應一條曲線,而方程組的解對應著曲線的公共點。利用這個思想,從根軸方程的線性相關性出發,容易得到平面幾何上的根心定理。這種證明方法十分簡單。

相關例題

以下例題選自2013年(第54屆)國際數學奧林匹克競賽(IMO)第二天第4題:
根心定理
是銳角三角形,H是垂心。W是BC上一點(在B和C之間)。M 和N 分別是從B和C作出的高的垂足。
的外接圓分別記為
。X,Y分別是
上的點,且WX和WY分別是
的直徑。
求證: X,Y,H 三點共線。
證明:如圖,記
的另一個交點為U,則UW是
的根軸。顯然,由於XW和YW分別是兩圓的直徑,因此XU⊥UW,YU⊥UW,從而X,U,Y共線。
顯然,B,C,M,N共圓,記該圓為
。注意到BN是
的根軸,而CM是
的根軸。BN和CM交於A點,由根心定理
的根軸UW必然通過A點,這也就是說A,U,W共線,從而AU⊥XY。
記的
外接圓為
。顯然,由於AN⊥NH,AM⊥MH,因此A,M,H,N四點共圓,即H也
在上。
密克定理,可以直接證明U也在
上(從而U就是
的公共點),從而A,N,U,H,M五點共圓,AH是該圓的直徑,則必有AU⊥UH,再由A,U,W共線,知UH⊥UW,從而X,U,H,Y四點共線。
證畢。
註:Miquel定理的內容如下:在△ABC的BC,AC,AB邊上分別取點W,M,N,對△AMN,△BWN和△CWM分別作其外接圓,則這三個外接圓共點。
該定理的證明很簡單,利用“圓內接四邊形對角和為180度”及其逆定理。現在已知U是
的公共點。連線UM和UN,則四邊形BNUW和四邊形CMUW分別是
的內接四邊形,∠UWB+∠UNB=∠UNB+∠UNA=180度,從而∠UWB=∠UNA。同理∠UWB+∠UWC=∠UWC+∠UMC=180度,從而∠UWB=∠UMC。又有∠UMC+∠UMA=180度,因此∠UNA+∠UMA=180度,這正說明四邊形ANUM是一個圓內接四邊形,而該圓必是
,U必在
上。

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