柯西方法的概念
柯西方法解函式方程的步驟是：先求出對於自變數取所有自然數時函式方程的解具有的形式，然後依次證明對自變數取整數值、有理數值以及實數值時函式方程的解仍具有這種形式，從而得到函式方程的解。這種思維又叫“爬坡式推理”。
運用,
運用
求函式方程(柯西方程）f(x+y)=f(x)+f(y)的所有連續解
解：令x=y 得f(2x)=2f(x)
又令y=2x 得f(3x)=f(2x)+f(x)=3f(x)
歸納可知對於任意自然數n，f(nx)=nf(x)
在原方程中,令y=-x 得,f(0)=f(x)+f(-x),
又令x=y=0 得f(0)=0
∴f(-x)=-f(x) [這說明f(x)是奇函式]
於是，對於任意n∈Z,f(nx)=nf(x)
則f(x)=f(n×(x/n))=nf(x/n)
則f(x/n)=f(x)/n
再設x=mt ,則f(mt/n)=f(mt)/n=mf(t)/n
令t=1 則f(m/n)=m/nf(1)
可見對於一切有理數r,總有f(r)=rf(1)
又因為,對於無理數x，總可以由一列有理數r1,r2,....,rn表示(r1,r2,....,rn中的1、2、n都是在右下標）
即當n→∞時,rn→r（註：這是高等數學的一個結論）
f(rn)=rnf(1)，令n→∞得 f(x)=xf(1)
