有界點集

在數學中，一個集合具有某種意義上的有限的大小，則稱這個集合在這種意義下是有界的，否則，稱為無界的。

定義

實數的一個集合 ，如果有實數 ，使得 中的所有點 ，都有 。 稱為S的上界。類似地可定義了下界。如果集具有上限和下限, 則該集合為有界的。

歐氏空間 的一個集合 ，如果有實數 ，使得 中的所有點 ，都有 。則該集合為有界的。

度量空間

度量空間 的子集 是有界的，如果它包含在有限半徑的球中，即存在 和 ，使得對任意的 ，有 。 稱為有界度量空間 ，如果M作為其自身的子集是有界的。

• 完全有界意味著有界。對於歐氏空間的子集, 兩者是等價的。
  
• 度量空間是緊的當僅當它是完備的且完全有界的。
  
• 歐氏空間的子集是緊的當僅當它是有界閉集。
  

序理論中的有界性

實數的子集是有界的，如果存在一個上界和一個下限。此定義可擴展到任何偏序集的子集。須要注意, 這個更一般的有界概念並不對應於 "數的大小" 的概念，而是一種順序的前後。

偏序集 的子集 稱為有上界的，如果存在元素 ，使得對任意 ，有 。 稱之為 的一個上界。類似地，可以定義有下界的。若子集既有上界同時有下界，則稱為有界的。

例

對歐氏空間 中的 ，定義偏序 當僅當a₁≤a₂且b₁≤b_2，此時，歐氏空間的子集有界性等價於在剛才定義偏序集的有界性。類似地，可推廣到。