梯度下降(最速下降法)

梯度下降

最速下降法一般指本詞條

梯度下降是疊代法的一種,可以用於求解最小二乘問題(線性和非線性都可以)。在求解機器學習算法的模型參數,即無約束最佳化問題時,梯度下降(Gradient Descent)是最常採用的方法之一,另一種常用的方法是最小二乘法。在求解損失函式的最小值時,可以通過梯度下降法來一步步的疊代求解,得到最小化的損失函式和模型參數值。反過來,如果我們需要求解損失函式的最大值,這時就需要用梯度上升法來疊代了。在機器學習中,基於基本的梯度下降法發展了兩種梯度下降方法,分別為隨機梯度下降法和批量梯度下降法。

基本介紹

  • 中文名:梯度下降
  • 外文名:steepest descent (gradient descent)
  • 用於:求解非線性方程組
  • 類型最最佳化算法
簡介,求解過程,套用,缺點,

簡介

梯度:對於可微的數量場
,以
為分量的向量場稱為f的梯度或斜量。
梯度下降法(gradient descent)是一個最最佳化算法,常用於機器學習和人工智慧當中用來遞歸性地逼近最小偏差模型。

求解過程

顧名思義,梯度下降法的計算過程就是沿梯度下降的方向求解極小值(也可以沿梯度上升方向求解極大值)。
其疊代公式為
,其中
代表梯度負方向,
表示梯度方向上的搜尋步長。梯度方向我們可以通過對函式求導得到,步長的確定比較麻煩,太大了的話可能會發散,太小收斂速度又太慢。一般確定步長的方法是由線性搜尋算法來確定,即把下一個點的坐標看做是ak+1的函式,然後求滿足f(ak+1)的最小值的ak+1即可。
因為一般情況下,梯度向量為0的話說明是到了一個極值點,此時梯度的幅值也為0.而採用梯度下降算法進行最最佳化求解時,算法疊代的終止條件是梯度向量的幅值接近0即可,可以設定個非常小的常數閾值。

套用

舉一個非常簡單的例子,如求函式
的最小值。
利用梯度下降的方法解題步驟如下:
1、求梯度,
2、向梯度相反的方向移動
,如下
,其中,
為步長。如果步長足夠小,則可以保證每一次疊代都在減小,但可能導致收斂太慢,如果步長太大,則不能保證每一次疊代都減少,也不能保證收斂。
3、循環疊代步驟2,直到
的值變化到使得
在兩次疊代之間的差值足夠小,比如0.00000001,也就是說,直到兩次疊代計算出來的
基本沒有變化,則說明此時
已經達到局部最小值了。
4、此時,輸出
,這個
就是使得函式
最小時的
的取值 。
MATLAB如下。
%% 最速下降法圖示% 設定步長為0.1,f_change為改變前後的y值變化,僅設定了一個退出條件。syms x;f=x^2;step=0.1;x=2;k=0;         %設定步長,初始值,疊代記錄數f_change=x^2;             %初始化差值f_current=x^2;            %計算當前函式值ezplot(@(x,f)f-x.^2)       %畫出函式圖像axis([-2,2,-0.2,3])       %固定坐標軸hold onwhile f_change>0.000000001                %設定條件,兩次計算的值之差小於某個數,跳出循環    x=x-step*2*x;                         %-2*x為梯度反方向,step為步長,!最速下降法!    f_change = f_current - x^2;           %計算兩次函式值之差    f_current = x^2 ;                     %重新計算當前的函式值    plot(x,f_current,'ro','markersize',7) %標記當前的位置    drawnow;pause(0.2);    k=k+1;endhold offfprintf('在疊代%d次後找到函式最小值為%e,對應的x值為%e\n',k,x^2,x)
梯度下降法處理一些複雜的非線性函式會出現問題,如Rosenbrock函式:
,其最小值在
處,函式值為
。但是此函式具有狹窄彎曲的山谷,最小點
就在這些山谷之中,並且谷底很平。最佳化過程是之字形的向極小值點靠近,速度非常緩慢。
圖1圖1

缺點

  • 靠近極小值時收斂速度減慢。
  • 直線搜尋時可能會產生一些問題。
  • 可能會“之字形”地下降。

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