最小角定理

最小角定理（minimum angle theorem）是立體幾何的重要定理之一，指與平面斜交的直線與它在該平面內的射影的夾角不大於直線與平面內其他直線的夾角。

基本介紹

• 中文名：最小角定理
• 外文名：minimum angle theorem
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：立體幾何
• 相關定理：三餘弦定理（瓜子定理）

定理介紹

平面外的一條斜線和它在平面內的射影所成的銳角，是這條斜線和平面內經過斜足的直線所成的一切角中最小的角。（為最小角，如圖1）。

圖1

定理證明

圖2

如圖，若AB，AO分別是平面a的垂線和斜線，OB是AO在平面a內的射影，∠AOB為銳角，OC是平面a內和OB不重合的任一直線，在OC上截取OD=OB，連結AD，則AB<AD。

在△AOB與△AOD中，因為OA=OA，OB=OD，AB<AD，所以∠AOB<∠AOD。

定理得證。

上述定理是定義“斜線和平面所成的角”這一概念的理論基礎。有了上面的性質，就保證了這一概念的定義的合理性。

例題解析

【例1】直線AB與直二面角α-a-β的兩個面分別交於A、B兩點，且A、B都不在棱a上，設直線AB與平面α和平面β所成的角分別為θ和中，求θ+φ的取值範圍。

圖3

解：如圖3，作BC⊥a於C，

∵平面α⊥平面β，

∴BC⊥平面α。

∴∠BAC是AB與平面α所成的角。

即∠BAC=θ。

又從BC⊥平面α可知BC⊥AC。

在Rt△BAC中：θ+∠ABC=90°。

由最小角定理可知:φ≤∠ABC，

∴θ+φ≤90°。

故θ+φ∈(0°，90°]。