曼德博集合

曼德博集合（Mandelbrot set，或譯為曼德布洛特複數集合）是一種在複平面上組成分形的點的集合，以數學家本華·曼德博的名字命名。曼德博集合與朱利亞集合有些相似的地方，例如使用相同的復二次多項式來進行疊代。

基本介紹

• 中文名：曼德博集合
• 外文名：Mandelbrot set

簡介

曼德博集合（Mandelbrot set，或譯為曼德布洛特複數集合）是一種在複平面上組成分形的點的集合，以數學家本華·曼德博的名字命名。曼德博集合與朱利亞集合有些相似的地方，例如使用相同的復二次多項式來進行疊代。

將曼德博集合無限放大都能夠有精妙的細節在內，而這瑰麗的圖案僅僅由一個簡單的公式生成。因此有人認為曼德博集合是“人類有史以來做出的最奇異、最瑰麗的幾何圖形”，曾被稱為“上帝的指紋”。

定義

曼德博集合可以用復二次多項式來定義：

.

其中是一個複數參數。

從開始對進行疊代：

.

.

.

每次疊代的值依序如以下數列所示：

.

不同的參數可能使疊代值的模逐漸發散到無限大，也可能收斂在有限的區域內。

曼德博集合就是使其不擴散的所有複數的集合。

特性

• 自相似
  
• 面積為1.5065918561
  

計算的方法

曼德博集合一般用電腦程式計算。對於大多數的分形軟體，例如Ultra fractal，內部已經有了比較成熟的例子。下面的程式是一段偽代碼，表達了曼德博集合的計算思路。

For Each c in Complex repeats = 0 z = 0 Do  z = z^2 + c  repeats = repeats + 1 Loop until abs(z) > EscapeRadius or repeats > MaxRepeats '根據定理三，EscapeRadius可設定為2。 If repeats > MaxRepeats Then  Draw c,Black                                            '如果疊代次數超過MaxRepeats，就將c認定為屬於曼德博集合，並設定為黑色。 Else  Draw c,color(z,c,repeats)                               'colo函式用來決定顏色。 End IfNext

相關的定理

定理一

若 ，則。

定理二

若，則。

定理三

若 ，則。