趙爽在給《周髀算經》寫注的時候，提出了測量太陽高度的想法。假定大地是平的(這也是合理的，因為趙爽的兩次測量之間相距不過幾十或幾百米)，在平地上立兩表(表就是“桿”的意思)，高度相等(或一個表用兩次也可)，設為h。兩表一前一後，距離為s，且與目標(此處是太陽) 在同一平面內。前面的表(即離目標近的表) 的影子長度為a，後面的影子長度為b。利用相似原理，容易計算出日高H為H=h(1+s/(b-a))（即：日高= (表高×表距)/影差+表高）。但是，這一 方法儘管在理論上可行，其實是無法測出太陽真實高度的，因為H太大了，a 與b幾乎相等，而且表的任何輕微晃動所造成的誤差，都將遠超過b 與a的真值之差。因此，這個“日高公式”在理論上是正確的，在實踐上卻是不可行的。
基本介紹
- 中文名：日高公式
- 所屬學科：地理、數學
- 相關著作：《周髀算經》
- 相關人物：趙爽、吳元俊等
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公式記載
根據《周髀算經》，周公測日的方法大致是這樣的：先後兩次測量同一圭表在不同處的日影長，然後用下面公式算出日高：
日高= (表高×表距)/影差+表高.
圖1趙爽測量太陽高度想法示意圖在平地上立兩表(表就是“桿”的意思)，高度相等(或一個表用兩次也可)，設為h。兩表一前一後，距離為s，且與目標(此處是太陽) 在同一平面內。前面的表(即離目標近的表) 的影子長度為a，後面的影子長度為b。
日高公式的證明
日高公式怎么來的? 《周髀算經》沒有說.趙爽為《周髀算經》作注時，畫了一幅“日高圖”並附有圖說，實際是對日高公式的證明。趙爽原圖已佚失，根據殘存但是原始的信息，利用《九章算術》中經常出現的“出人相補”原理，吳元俊復原了趙爽的“日高圖”，並補出了日高公式的證明。
圖2其中三角形△ABI 全等於△AJI，△ACG 全等於△AQG，而△FGI 全等於△GRI。根據“出人相補”原理，應有
△AJI 的面積一(△AQG 的面積十△GRI 的面積)
=△ABI 的面積一(△ACG 的而積十△FGI 的面積)
即
JG=GB，這裡JG 表示以J 和G 為頂點的矩形的面積，GB 類似地定義。同理，KE=EB，相減可得JG－KE=GD，即：(FI－DH)×AC=ED×DF，亦即
影差× (日高－表高)=表高×表距。
這就得到了日高公式。
海島公式
日高公式可用來測天，也可藉以量地。比趙爽稍晚的魏晉數學家劉徽就寫了一部叫《海島算經》的著作，套用勾股定理解決各種測量問題，其中第一個問題是測量海島的高度(圖3)，劉徽給出了著名的海島公式（顯然，將《周髀算經》中的日高公式改日高為島高，就是海島公式）：
島高=(表高×表距)/ 表目距的差+ 表高。
圖3