旁心定理

三角形的旁切圓（與三角形的一邊和其他兩邊的延長線相切的圓）的圓心，叫做三角形的旁心。

基本介紹

• 中文名：旁心定理。
• 定理：三角形的旁切圓的圓心。
• 性質：每個三角形都有三個旁心。
• 性質：旁心到三邊的距離相等。

性質

1、三角形一內角平分線和另外兩頂點處的外角平分線交於一點，該點即為三角形的旁心。

2、每個三角形都有三個旁心。

3、旁心到三邊的距離相等。 如圖，點M就是△ABC的一個旁心。三角形任意兩角的外角平分線和第三個角的內角平分線的交點。一個三角形有三個旁心，而且一定在三角形外。

4、三角形的中心：只有正三角形才有中心，這時重心，內心，外心，垂心，四心合一。

證明

證明:EO=FO=DO

在△ADO與△AFO中:

∠AFO=∠ADO

∠DAO=∠FAO(角平分線)

AO=AO(公共邊)

∴△ADO與△AFO全等

∴DO=FO(兩個三角形全等,三邊對應等)

在△FCO與△CEO中:

∠CFO=∠ACEO

∠ECO=∠FCO(角平分線)

CO=CO(公共邊)

∴△FCO與△CEO全等

∴EO=FO(兩個三角形全等,三邊對應等)

∵EO=FO(兩個三角形全等,三邊對應等)

又∵EO=DO(兩個三角形全等,三邊對應等)

∴EO=FO=DO