斯蒂爾吉斯常數

斯蒂爾吉斯常數，是出現在黎曼ζ函式的羅朗級數展開式中的常數。

基本介紹

• 中文名：斯蒂爾吉斯常數
• 外文名：Stieltjes constants
• 分類：特殊函式

定義

斯蒂爾吉斯常數，記為，是出現在黎曼ζ函式的羅朗級數展開式中的數：

斯蒂爾吉斯常數由以下的極限給出：

還有一種積分表示法，可由柯西積分公式推出：

第零個常數稱為歐拉-馬歇羅尼常數。

更一般地，我們可以定義出現在赫爾維茨ζ函式的羅朗級數展開式中的斯蒂爾吉斯常數：

在這裡，q是一個複數，Re(q)>0。由於赫爾維茨ζ函式是黎曼ζ函式的一個推廣，我們有

羅朗級數

在數學中，複變函數f(z)的洛朗級數，是冪級數的一種，它不僅包含了正數次數的項，也包含了負數次數的項。有時無法把函式表示為泰勒級數，但可以表示為洛朗級數。

函式f(z)關於點c的洛朗級數由下式給出：

其中a_n是常數，由以下的曲線積分定義，它是柯西積分公式的推廣：

積分路徑γ是位於圓環A內的一條逆時針方向的可求長曲線，把c包圍起來，在這個圓環內是全純的（解析的）。的洛朗級數展開式在這個圓環內的任何地方都是正確的。在右邊的圖中，該環用紅色顯示，其內有一合適的積分路徑。如果我們讓是一個圓 ，其中，這就相當於要計算的限制到上的復傅立葉係數。這些積分不隨輪廓的變形而改變是斯托克斯定理的直接結果。

在實踐中，上述的積分公式可能不是計算給定的函式係數最實用的方法；相反，人們常常通過拼湊已知的泰勒展開式來求出洛朗級數。因為函式的洛朗展開式只要存在就是唯一的 ，實際上在圓環中任何與相等的，以上述形式表示的給定函式的表達式一定就是的洛朗展開式。