支付函式

支付函式（又稱贏得函式）是博弈論中量化局中人在不同策略組合下得失的核心工具，定義為全體局勢集合到實數域的映射關係，其數值由策略組合唯一確定。在二人零和博弈中，雙方的支付函式滿足H₁(s)+H₂(s)=0的關係，體現對抗性特徵；非零和博弈則通過支付函式結構反映合作或競爭程度。作為對策模型三要素之一，其數學形式直接影響系統效率：當策略多樣化程度較高時，二次支付函式等複雜形式將顯著改變均衡結果。典型案例如齊王賽馬博弈，通過6×6支付矩陣直觀呈現策略組合與得失值的對應關係。

基本介紹

• 領域：博弈論
• 別稱：贏得函式
• 核心要素：對策模型三要素 
• 數學表達：H_i(s)∈ℝ
• 套用模型：矩陣對策、混合策略
• 經典案例：囚徒困境刑期矩陣

定義與數學表達

支付函式定義為每個局中人在全體局勢集合S上的實值函式，當n個局中人選定策略構成局勢s=(s₁,s₂,…,s_n)時，Hi(s)表示第i個局中人在該局勢下的實值得失。其數學表達式需滿足：

• 映射關係：S→ℝ，其中S=×S_i為所有策略集的笛卡爾積
• 局勢依賴性：函式值完全由策略組合s決定
• 零和特性：在有限二人零和博弈中，滿足∀s∈S, H₁(s) + H₂(s) = 0

核心套用場景

在矩陣對策模型中，支付函式表現為m×n階矩陣A=(a_ij)，其中a_ij表示當局中人Ⅰ選擇第i個策略、Ⅱ選擇第j個策略時的支付值。典型套用包括：

• 齊王賽馬案例：構建6×6支付矩陣，對應賽馬出場順序策略組合的得失分計算，當齊王採取策略α₁=(上,中,下)而田忌採取β₁=(上,中,下)時，H₁(s)=3，H₂(s)=-3
• 囚徒困境模型：通過2×2支付矩陣表示合作與背叛策略下的刑期年數，揭示個體理性與集體理性衝突
• 混合策略擴展：當純策略無解時，定義期望支付函式E(x,y)=xAy^T，其中x,y為機率向量

模型構建要素

作為對策論三要素之一，支付函式與以下要素構成完整分析框架：

1. 局中人集合I：決策主體集合，通常記為I={1,2,…,n}
2. 策略集S_i：第i個局中人的可選策略集合
3. 支付函式H_i：定義在S=×S_i上的實值函式

在行銷執行力提升等套用研究中，支付函式被用於量化企業團隊在不同策略組合下的績效得分，形成可量化的競爭結果評估體系。

求解方法體系

基於支付函式的數學特徵，主要求解方法包括：

• 純策略求解：通過最大最小原則尋找鞍點，若存在s*使得max_i min_j a_ij = min_j max_i a_ij，則s*為最優策略組合
• 混合策略擴展：當無純策略解時，引入機率分布構建混合策略集S_i*，通過線性規劃求解最優期望支付值
• 非對稱處理：在非零和博弈中採用雙矩陣形式(H₁(s),H₂(s))，套用納什均衡條件求解穩定策略組合

2004年研究表明，在非閉集策略空間[a,b)×[c,d]上，當支付函式具有凸性時，仍可通過連續性分析保證最優純策略存在性。

形式差異影響

支付函式的具體數學形式對博弈結果產生系統性影響：

• 二次支付函式在少數派博弈中被證明：當策略多樣性低於臨界值時，不同函式形式對系統效率無顯著差異；當多樣性突破閾值後，二次形式顯著改變群體行為演化路徑
• 線性支付函式在矩陣對策中具有鞍點存在性的充要條件，而非線性形式需藉助拓撲學方法驗證平衡點存在性
• 連續型支付函式在凸策略空間上可通過微分法求解極值，離散型則依賴組合最佳化算法

該理論工具已延伸至深度學習領域，在生成對抗網路（GAN）中，生成器與判別器的對抗過程被建模為二人零和博弈，其支付函式的設計直接影響模型收斂特性。