拋射體運動

拋射體運動是以任意初速拋出的物體在地球重力作用下的運動。作這種運動的物體稱為拋射體。拋射體的質心在運動中的軌跡稱為彈道或彈道曲線。

基本介紹

• 中文名：拋射體運動
• 質心軌跡：彈道或彈道曲線
• 對象：任意初速拋出的物體
• 作用：重力

理想拋射體的運動

拋射體的理想運動 指在下述四種假設下的運動：①拋射體在真空中運動；②拋射體的射程與地球的尺寸相比很小，故地球表面可視為平面，各處重力互相平行；③拋射的高度與地球半徑相比很小，各處重力加速度g 可視為常數且等於在地面的值；④在地面上靜止的物體具有與地球在該點的轉動速度相同的速度，所以初速不太大時，拋射體的運動可不考慮地球的轉動。在這些假設下，拋射體對靜止於地面的直角坐標系的運動方程為：

設初速與水平成角，而初始條件為：

則積分後的運動方程為：

消去t後，得彈道方程：

這是一個拋物線方程（圖1）。當y=h時，可從上式求出拋射體的射程：

可見射程不僅與初速度v₀有關，且與θ₀有關。當θ₀=45°時，射程最大。

實際拋射體的運動

考慮空氣阻力的拋射體運動，炮彈或飛彈在空氣中運動時，空氣的阻力對彈道的影響 是縮短射程、減小落地速度和增大落地角，並使彈道具有豎直漸近線 （圖2）。

在阻尼介質中運動的拋射體同時受到重力P和空氣阻力R的作用（圖3）。R與速度v反向，其大小則為0的 某一函式mf（v）,其中m為拋射體的質量,是為了算式簡明而寫上的。拋射體沿曲線的切向和法向的運動微分方程為：

式中θ是速度矢量與水平軸x的夾角。

曲率半徑ρ與弧長s和傾角θ有如下關係：

式中負號表明θ角隨弧長s的增加而減小。於是式（1）可寫作：

從以上兩式消去dt，得到：

或改寫為：

只有在函式f（v）取某些特殊形式時，式（3）才有一般的積分。

下面分述介質阻力對拋射體運動的影響。

介質阻力對射程的影響

將式（4）寫為：

由於

推出

即速度的水平分量是減函式，故射程比理想運動時要短。

介質阻力對落地角的影響

利用式（2）的第二式，

沿彈道的上升段積分，y由0到h，θ由θ₀到0,得到：

如以θ₁代表落地角，將式（5）沿下降段積分，得到：

因為是減函式，上面第二個積分的值必定大於第一個，故

即拋射體的落地角θ₁大於發射角θ₀。

介質阻力對落地速度的影響

將式（2）的第一式乘以v並積分，得：

設落地時t=t₁，落地速度為v₁，此時y=0,上式變為：

此式表明v₁<v₀,即落地速度v₁小於發射速度v₀。

阻尼介質中彈道的漸近線

θ角從初始值逐漸減小，在彈道頂點處變為零，此後即取負值。由式（2） 中的第二式得出：

根據初始條件t=0時θ=，積分後可得：

從上式可以看出，當

時

故在阻尼介質中彈道具有豎直漸近線。

此外，當射程較大時,例如遠程彈道飛彈，由於地面是球形，球面曲率的影響是增大射程（圖4）。圖中橢圓是飛彈在地球有心力場中的真空彈道。此時的射程等於，顯然大於設地面為平面情況下的射程。

參考文獻

詞條作者：黃克累．《中國大百科全書》74卷（第一版）力學 詞條：拋射體運動：中國大百科全書出版社， 1987 ：377-378頁．

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