拉格朗日-格拉斯曼流形

在數學中，拉格朗日-格拉斯曼流形是一種典型的格拉斯曼流形，有著重要的研究地位。

基本介紹

• 中文名：拉格朗日-格拉斯曼流形
• 外文名：Lagrangian-Grassmannian

定義

拉格朗日-格拉斯曼流形（Lagrangian-Grassmannian）是實辛向量空間中拉格朗日子空間上的光滑流形。若向量空間的維度是2n，則拉格朗日-格拉斯曼流形的維度是n(n+1)/2。該流形與齊性空間U(n)/O(n)同胚，其中U(n)是n維酉群，O(n)維n維正交群。Arnold記其為。

基本群與二階同倫群

該段落參考於Arnold（1967）。

對於一切正整數n，拉格朗日-格拉斯曼流形U(n)/O(n)的基本群為 。

可以證明，右側圖表可交換。其中det為行列式映射， 映射將元素 送到 。

計算同倫群所需交換圖表

因SU(n)是簡單連通的，SO(n)連通，故 ，由短正合序列 可知 。

再因 ，由短正合序列 可知拉格朗日-格拉斯曼流形的基本群為。

根據交換圖，有長正合序列。由正合性，，因，可以得到為單射，則，再由正和性知，那么上述長正合序列可斷為：。則拉格朗日-格拉斯曼流形的2階同倫群與O(n)基本群相同，即。