托馬森圖

托馬森圖(Thomasson graph)是一個特殊的圖。它是龐加萊猜想的一個反例。此猜想說：不存在亞可跡圖；但托馬森圖為亞可跡圖。

基本介紹

• 中文名：托馬森圖
• 外文名：Thomasson graph
• 領域：數學
• 性質：一種特殊的圖
• 提出者：托馬森
• 意義：龐加萊猜想的反例

極圖

極圖是一類特殊的圖。指階數一定在某種意義下最大的圖。給定一個圖族L，在所有n階圖中含邊最多，不以L中圖為其子圖的圖。這個給定的圖族L稱為禁用圖類。關於L的全部n階極圖的集記為Ex(n，L)，其中每個極圖邊數相等，記為ex(n，L)。例如，T_m，n圖，即有n個節點，各部節點數分別為[n/m](即n/m的整數部分)或[n/m]+1的完全m部圖，就是一個極圖。其中，L是m+1階完全圖。T_m，n常稱為圖蘭圖。事實上，有圖蘭定理：在所有不含完全圖K_n作為子圖的m階圖中，邊數最多的圖只有一個，就是T_m，n-1。它第一次出現在圖蘭(Turn，P.)1941年發表的文章中，由此而得名。

龐加萊猜想

關於閉3維流形拓撲性質的一個猜測.龐加萊(Poincaré，(J.-)H.)於1900年提出這樣的問題：一個同調平凡的3維流形M(即H₀(M)=Z，H_i(M)=0，i>0)是單連通的，從而同胚於3維球面S³。後來他自己舉了一個反例，說明存在同調平凡但非單連通的流形，這樣的流形當然不能同胚於S³，但下列問題至今沒能解決：一個單連通的3維閉流形同胚於Sⁿ。這就是著名的龐加萊猜測。若3維閉流形M是2連通的，則M與S有相同的同倫型。上述龐加萊猜測中的流形正是這樣的流形，因此上述問題的一般提法(廣義龐加萊猜測)是：若一個n維閉流形M與S有相同的同倫型，則M同胚於Sⁿ。

這個問題當n≥5時，由美國數學家斯梅爾(Smale，S.)於1960年利用莫爾斯理論的方法所解決，他考慮的是M為可微流形的情形。後來，史太令史(Stallings J.R.)解決了M為分片線性(簡稱PL)流形的情形；紐曼(Newman，M.H.A.)解決了M為拓撲流形的情形。一般地，當n≥5，M為光滑同倫n維球面(即與S有相同同倫型)時，M同胚於S.但當n≥7時，這決不意味著M微分同胚於Sⁿ。當n≥5，M為PL同倫n維球面時，M為PL同胚於Sⁿ_。當n=4，M為拓撲同倫4維球面時，弗里德曼(Freedman，M.(H.))於1980年在更廣泛的意義上，作為一個推論，解決了M同胚於Sⁿ的問題。對於n=3的情形，即古典龐加萊猜測，至今未能解決。此外，對於n=1，2情形問題是平凡的，早為人們所熟知。