微分映射

微分映射是1993年公布的數學名詞。

基本介紹

• 中文名：微分映射
• 外文名：differential mapping
  differentiable mapping
  differentiable map
• 所屬學科：微分拓撲
• 公布時間：1993年

定義

設M與N為C流形，則映射f:M→N稱為x∈M的微分映射，若x有局部表示為微分映射。

相關概念

設f:M→N為微分映射，對α∈A_k(N)，定義α沿f的拉回為M上k形式f*α為

(f*α)(p)(v₁,...,v_k)=α(f(p))(f_*v₁,...,f_*v_k)，p∈M，v_i∈T_pM。

連續映射

設D是中的一個區域，稱映射為（n元m值）向量值函式。顯然，對應於m個n元函式：

因此，常把映射用分量表示為。當m=1時，就是n元函式。

定義 設D是中的一個區域，是以D為定義域的映射，，如果

則稱當時以為極限，記作。

當時，如果

則稱映射在點連續；如果在D上的每一點處連續，則稱為D上的連續映射或連續的向量值函式。

定理1 設是從上某區域D到的映射，

其中為常向量，則

(1) 的充要條件是；

(2) 在點連續的充要條件是m個n元函式均在點連續。

可微映射

設D是 中的一個區域， 是以D為定義域的映射， ，如果對於自變數 的增量 ，因變數 的增量 可以分解為

其中 是一個 陣， 是m維空間中的向量，它的各分量均是比 高階的無窮小量，則稱映射 在 點可微，其微分為

其中 ， ，這裡的 稱為映射 的雅克比矩陣，也稱作映射 在點 的導數，常記作 。

如果在D上的每一點處可微，則稱 為D上的可微映射。

定理2 設 是從上某區域D到的映射，

其中 ，則映射 在點 可微的充要條件是諸 在點 均可微，當 在點 可微時，相應的Jacobi矩陣為

此時有

複合鏈式法則

設 ，記 ；又設 ，記 ，考察定義於 上的複合映射 ，它用分量表示就是 ，其中

定理3 如果 均是可微映射，則

上式寫成矩陣形式就是

公布時間

1993年，經全國科學技術名詞審定委員會審定發布。

出處

《數學名詞》第一版。