復頻域分析法

定義

z變換是離散系統的復頻域分析法。它是對於n﹤0為零的離散序列（所謂“右邊序列”）x(n)通過關係式
∞
X(z)=Σ x(n)z(-n)
n=0

參數說明

(其中（-n）為z的冪次，下同)變換為復變數z=ρejω的函式X（z）。它就是時間序列x(n)的“復頻域”表示方式。從中看出，對於“右邊序列”，ρ愈大時愈有利於z變換的收斂。z變換的收斂區為以ρ0為半徑的圓的外部。ρ0就被稱之為“收斂半徑”。不難看出，有限長序列，t=0時方出現的直流、正弦波或周期序列，指數序列an,其收斂半徑分別為0,1及a 。
用z變換很容易進行離散系統的復頻域分析。為此，首先將給定的激勵序列x（n）按照上述的z變換公式變換為它的z變換X（z）；然後通過將系統的差分方程或衝激回響進行z變換，求出該系統的傳遞函式H（z），於是系統零狀態回響的z變換就是激勵的z變換與傳遞函式的乘積，即
Y(z)=X(z)H(z)
最後將Y（z）進行“z反變換”之後，就得到回響的離散序列y(n).實際上，在“復頻域”中兩個z變換的乘積，對應於“時間域”中兩個離散序列的卷積。例如設系統的激勵及衝激回響分別為
x(n)=h(n)=1, 0≤n≤2
=0, 其餘
則可求出激勵的z變換及系統的傳遞函式為
X（z）=H(z)=1+z(-1)+z(-2)
於是回響的z變換
Y（z）=X(z)H(z)=(1+z(-1)+z(-2))2
=1+2z(-1)+3z(-2)+2z(-3)+z(-4)
相應的離散序列
y(n)=n+1, n=0,1,2
=5-n, n=3,4
=0, 其餘
與在時域中用離散卷積得出的結果相同。

5-5 線性系統復頻域分析法

下面以線性電路系統為例來研究線性系統的復頻域分析方法。由於復頻域形式的KCL,KVL，歐姆定律，在形式上與相量形式的KCL,KVL，歐姆定律全同，因此關於電路頻域分析的各種方法(節點法、割集法、網孔法、迴路法)、各種定理(齊次定理、疊加定理、等效電源定理、替代定理、互易定理等)以及電路的各種等效變換方法與原則，均適用於復頻域電路的分析，只是此時必須在復頻域中進行，所有電量用相應的像函式表示，各無源支路用復頻域阻抗或復頻域導納代替，但相應的運算仍為複數運算。其一般步驟如下：

(1) 根據換路前的電路(即t<0時的電路)求時刻電感的初始電流和電容的初始電壓；

(2) 求電路激勵(電源)的拉普拉斯變換(即像函式)；

(3) 畫出換路後電路(即t>0時的電路)的復頻域電路模型；

(4) 套用節點法、割集法、網孔法、迴路法及電路的各種等效變換、電路定理等，對復頻域電路模型列寫KCL，KVL方程組，並求解此方程組，從而求得全回響解的像函式；

(5) 對所求得的全回響解的像函式進行拉普拉斯反變換，即得時域中的全回響解，並畫出其波形。

例5-11 圖5-10(a)所示電路， , ，，

， \ 。求零輸入回響。

圖5-10

解：因只求零輸入回響，故應使激勵源，進而可畫出求零輸入回響的s域電路模型，如圖5-10(b)所示。故可列出兩個獨立節點的KCL方程為

復頻域分析法

基本介紹

定義

參數說明

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