彎曲應力

基本概述

在載荷作用下，梁橫截面上一般同時存在剪力和彎矩。由切應力τ構成剪力，由正應力σ構成彎矩，如圖1所示。由正應力與切應力引起的彎曲分別稱為彎曲正應力與彎曲切應力。

彎曲正應力的一般公式

推導純彎曲梁橫截面的正應力公式，與推導扭轉切應力公式相似，也需要從變形兒何關係、物理關係和靜力學三方面來考慮。

變形幾何關係

純彎曲時梁的縱向“纖維”由直線變為圓弧，相距

的兩橫截面1'－1'和2'－2'繞中性軸發生相對轉動，如圖2所示。橫截面1'－1'和2'－2'延長相交於O點，O點即為中性層的曲率中心。設中性層的曲率半徑為ρ，此兩橫截面夾角為

，則距中性層為y處縱向“纖維”ab的正應變為

實際上，由於距中性層等遠各縱向“纖維”的變形相同，所以，上述正應變ε即代表距中性層為y的任一縱向“纖維”的正應變。

物理關係

根據單向受力假設，各縱向”纖維”處於單向拉仲或壓縮狀態，因此，當正應力不超過材料的比例極限時，胡克定律成立，由此得橫截面上距中性層y處的正應力為

該式就是梁純彎曲時橫截面上的正應力分布規律。由此式可知，橫截面上任一點處的正應力與該點到中性軸的距離成正比，距中性軸等遠的同一橫線上的各點處的正應力相等，中性軸各點處的正應力均為零。

靜力學關係

上面雖已得到正應力分布規律，但還不能用所給公式直接計算梁純彎曲時橫截面上的正應力。至此有兩個問題尚未解決：一是中性層的曲率半徑ρ仍未知；二是中性軸位置未知，故式中之y還無從確定。解決這兩個問題，需要藉助於靜力學關係。

令橫截面縱向對稱軸為y軸，中性軸為x軸，梁軸線為x軸，在坐標（y，a）處取一微面積dA，法向微內力為ρdA（圖3），橫截面各微面積上的法向微內力ρdA組成一空間平行力系，而且橫截面上不存在軸力，僅存在位於x－y平面內的彎矩M，因此

得：

由於

≠0，故

式中左邊的積分代表橫截面對z軸的靜矩

。只有當z軸通過橫截面形心時，靜矩

才為零。由此可見，中性軸通過橫截面形心。
可得：

此式為用曲率表示的彎曲變形公式。公式中

代表橫截面對z軸的慣性矩。
由推出的公式易得純彎曲時梁橫截面上的正應力計算公式為：

此式為彎曲正應力的一般公式。

彎曲正應力公式的套用范

彎曲正應力公式是在純彎曲情況下推導的。當梁受到橫向力作用時，在橫截面上，一般既有彎矩又有剪力，這種彎曲稱為橫力彎曲。由於剪力的存在，在橫截面上將存在切應力τ，從而存在切應變γ=τ/G。由於切應力沿梁截面高度變化，故切應變γ沿梁截面高度也是非均勻的。因此，橫力彎曲時，變形後的梁截面不再保持平面而發生翹曲，如圖4中的1-1截面變形後成為1'-1'截面。既然如此，以平面假設為基礎推導的彎曲正應力公式，在橫力彎曲時就不能適用。但是，如果兩截面間沒有載荷作用時，則兩截面的剪力相同，其翹曲程度也相同，由彎矩所引起的縱向纖維的線應變將不受剪力的影響，所以彎曲正應力公式仍然適用。當梁承受分布載荷作用時，兩截面上的剪力不同，因而翹曲程度也不相同，而且，此時縱向纖維還受到分布載荷的擠壓或拉伸作用，但精確分析表明，如果梁長l與梁高h相比足夠大時，這種翹曲對彎曲正應力的影響很小，套用公式計算彎曲正應力仍然是相當精確的。