弱有效解

弱有效解(weakly efficient solution)亦稱帕雷托弱有效解，是多目標規劃的基本概念之一。

基本介紹

• 中文名：弱有效解
• 外文名：weakly efficient solution
• 別名：帕雷托弱有效解
• 所屬學科：數學
• 所屬領域：運籌學(多目標規劃)
• 相關概念：多目標極小化模型、有效解等

定義

設R是模型(VMP)的約束集，F(X)是(VMP)的向量目標函式，若對 不存在 ，使得

則稱 是多目標極小化模型(VMP)的弱有效解。

上述定義表明，在向量不等式“<”的意義下，在問題(VMP)的約束集中已找不到比弱有效解更好的解。模型(VMP)的全部弱有效解所組成集合叫做模型( VMP) 的弱有效解集，記作 或簡記為 。

相關性質定理

下面定理1反映了向量目標函式經過一個單調變換之後，對應的多目標極小化模型的有效解(或弱有效解)和原模型的有效解(或弱有效解)之間的關係。

定理1

設R是模型(VMP)的約束集， 是向量目標函式，若 其中 且每一個 關於對應的 都是嚴格單增函式，i=1，…，m，則

(1)

(2) 。

定理2

模型(VMP)的有效解一定是弱有效解。

由有效解和弱有效解的定義直接可證。

定理3

對模型(VMP)，若絕對最優解集 ，則有效解集與絕對最優解集相同，即E(F，R)=E*(F，R)。

定理4

設約束集R是凸集，每個是R上的嚴格凸函式，i=1，…，m，則模型(VMP)的有效解集和弱有效解集相同，即E(F，R)=E_W(F，R)。

判別準則與存在性

下面介紹判別有效解和弱有效解的基本準則，並利用它們來討論有效解和弱有效解的存在性問題。為此，引進一個與模型(VMP)有關的如下輔助問題：

在中，各是模型(VMP)的第i 個分目標函式，R是約束集，點。是和式在所給約束條件下的下確界，特別地，當其中的各個在閉集R上連續，則是有限的，這時“inf" 即為“min"。

定理1

設模型(VMP)的約束集為R，若則的充分必要條件是。

定理2

設模型(VMP)的約束集為R，且為有限的，若是的最優解，則。

定理3

設模型(VMP)的約束集為R，則

(1) 當時，若是的最優解，則即是模型(VMP)的有效解。

(2) 當時，且至少有一個為嚴格不等式，若是的最優解，則即是模型(VMP)的弱有效解。

定理4

設模型(VMP)的約束集為R，則

(1) 當關於是嚴格增函式時，若是的最優解，則即是模型(VMP)的有效解。

(2) 當關於是增函式時，若是的最優解，則即是模型(VMP)的弱有效解。

下面給出有效解的兩個存在性條件。

定理5

設模型(VMP)的約束集為R，且有限，若下列極小化問題

的最優解存在，則模型(VMP)的有效解存在。

定理6

設模型(VMP)的約束集為R，每個分目標函式在R上都連續，若存在點使集合

是有界閉集時，則模型(VMP)的有效解存在。